数据分析师-数据分析师基础-概率论_概率论在计算机科学中的应用.docx

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概率论基础

1随机事件与概率空间

随机事件在概率论中指的是可能发生也可能不发生的事件。例如，抛一枚硬币，正面朝上是一个随机事件。概率空间由三个部分组成：样本空间、事件集合和概率函数。样本空间是所有可能结果的集合，事件集合是样本空间的子集，概率函数为每个事件分配一个介于0和1之间的概率值。

1.1示例

假设我们有一个样本空间S，表示抛一枚硬币两次的所有可能结果：

S={HH,HT,TH,TT}

其中，’HH’表示两次都是正面，’HT’表示第一次是正面，第二次是反面，以此类推。事件集合E可以是所有至少出现一次正面的结果：

E={HH,HT,TH}

概率函数P为每个事件分配一个概率值。对于公平的硬币，每个结果的概率都是1/4：

P={HH:0.25,HT:0.25,TH:0.25,TT:0.25}

2概率的公理化定义

概率的公理化定义由三个公理组成：

对于任何事件A，概率P(A)≥0。

样本空间S的概率P(S)=1。

如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。

2.1示例

假设我们有一个样本空间S，表示一个骰子的所有可能结果：

S={1,2,3,4,5,6}

对于一个公平的骰子，每个结果的概率都是1/6，满足公理1和公理2：

P={1:1/6,2:1/6,3:1/6,4:1/6,5:1/6,6:1/6}

如果事件A是骰子结果小于4，事件B是骰子结果大于3，那么A和B不是互斥的，但是我们可以找到互斥的事件，例如事件C是骰子结果是偶数，事件D是骰子结果是奇数，那么P(C∪D)=P(C)+P(D)=1，满足公理3。

C={2,4,6}

D={1,3,5}

P_C=sum([P[i]foriinC])

P_D=sum([P[i]foriinD])

P_C_D=P_C+P_D

3条件概率与独立性

条件概率是指在已知另一个事件发生的情况下，某个事件发生的概率。如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B)=P(A)，即事件B的发生不影响事件A的概率。

3.1示例

假设我们有一个样本空间S，表示一个袋子中有两个红球和两个蓝球的所有可能结果：

S={RR,RB,BR,BB}

其中，’RR’表示两次都抽到红球，’RB’表示第一次抽到红球，第二次抽到蓝球，以此类推。事件A是第一次抽到红球，事件B是第二次抽到红球。那么，条件概率P(A|B)表示在已知第二次抽到红球的情况下，第一次抽到红球的概率。

A={RR,RB}

B={RR,BR}

P_A=sum([1/4foriinA])

P_B=sum([1/4foriinB])

P_A_B=sum([1/3foriinAifiinB])

P_A_given_B=P_A_B/P_B

如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B)=P(A)。但是在这个例子中，P(A|B)≠P(A)，所以事件A和事件B不是独立的。

4随机变量与分布

随机变量是样本空间到实数集的映射。随机变量的分布描述了随机变量取各个值的概率。常见的随机变量分布有二项分布、泊松分布和正态分布。

4.1示例

假设我们有一个随机变量X，表示抛一枚硬币两次正面朝上的次数：

X={HH:2,HT:1,TH:1,TT:0}

那么，随机变量X的分布可以表示为：

P_X={0:0.25,1:0.5,2:0.25}

5期望与方差

期望是随机变量的平均值，方差是随机变量与其期望值的偏差的平方的平均值。期望和方差是描述随机变量分布的重要参数。

5.1示例

假设我们有一个随机变量X，表示抛一枚硬币两次正面朝上的次数，其分布为：

P_X={0:0.25,1:0.5,2:0.25}

那么，随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)可以表示为：

E_X=sum([i*P_X[i]foriinP_X])

Var_X=sum([(i-E_X)**2*P_X[i]foriinP_X])

在这个例子中，E(X)=1，Var(X)=0.5。#概率论在计算机科学中的应用

6贝叶斯网络与机器学习

6.1原理与内容

贝叶斯网络是一种基于概率论的图形模型，用于表示变量间的条件依赖关系。在机器学习中，贝叶斯网络被广泛应用于分类、预测和决策制定。它通过联合概率分布来描述数据集中的不确定性，从而帮助我们理解和预测数据中的模式。

6.1.1代码示例

#导入必要的库

frompgmpy