2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题解析与引申（韦兴洲）.pdfVIP

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题解析与引申

思路1：由特殊到一般。先由fx，fx的表达式猜想出fx的表达式，再用

1()2()n()

数学归纳法证明猜想.

思路2：若fxx，x,利用从函数x+a到函数x，再到

()fxf(x)

01()k1+axk1+ax

x的共轭传递过程，函数经过次函数迭代后，得x.详

f(x)nfx

kkn()kk

1+ax1+nax

见上海科技出版社出版的《函数迭代与方程》（2010年1月第一版，王伟叶，熊

斌著）第42页到第45页.



解析：令arcsin(cosx)=sincosx==−x+2k，kZ．或

2



+x+2k，kZ

2



−,x0,−x−,ysinx−,

因为22，当时，222且函数在22上单





x0,=−xx−,0=+x

调递增，所以当时，.同理可得：当时，.

22



+x，x−,0



2

所以arcsin(cosx).

−x，x0,

(

2

赏析：任一定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之

和，体现了数学的统一美与对称美。因此，许多大学数学教材和中学数学教辅都

收录了这道经典题目。上海交通大学出版社1993年3月出版的由沐定