必要条件与充分条件高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册.pptx

常用逻辑用语

2.1必要条件与充分条件

回顾：什么叫命题？

今天，我们将更加深入地学习与命题有关的概念——必要条件与充分条件

可以判断真假，用文字或符号表示的陈述句叫做命题。

基本结构：一般地，命题由条件和结论两部分组成。

在数学中，通常把命题表述为“若p，则q”和“p是q“两种形式。其中，p是条件，q是结论。

真命题和假命题

一、必要条件与性质定理

定理1菱形的对角线互相垂直.即如果四边形为菱形，

那么这个四边形的对角线互相垂直.

定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

定理3如果两个三角形是全等三角形，

那么这两个三角形的对应角相等.

这个是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必不可少的性质。也就是说，如果能确定一个四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.

定理1菱形的对角线互相垂直.即如果四边形为菱形，

那么这个四边形的对角线互相垂直.

一、必要条件与性质定理

一、必要条件与性质定理

定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

定理2是两个角为对顶角的性质定理。即两个角相等是两个角为对顶角必有的性质。

即如果能确定两个角是对顶角，那么一定可以得出这两个角相等；而一旦两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角.

一、必要条件与性质定理

定理3如果两个三角形是全等三角形，

那么这两个三角形的对应角相等.

定理3是全等三角形的性质定理，即对应角相等是全等三角形必有的性质。

即如果能确定两个三角形是全等三角形，那么一定可以得出这两个三角形的对应角相等；而一旦两个三角形的对应角不相等，那么这两个三角形一定不是全等三角形.

定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必不可少的性质。

定理2是两个角为对顶角的性质定理。即两个角相等是两个角为对顶角必有的性质。

定理3是全等三角形的性质定理，即对应角相等是全等三角形必有的性质。

一、必要条件与性质定理

如何理解“必不可少”、“必有”？

例如：定理1菱形的对角线互相垂直.

必要条件的语言表述：

“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.

请尝试用必要条件的语言表示定理2和定理3

二、充分条件与判定定理

定理4若a0,b0,则ab0.

定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.

定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所

得的三角形与原三角形相似.

二、充分条件与判定定理

定理4若a0,b0,则ab0.

如果满足了条件“a0,b0”，

一定有结论“ab0”成立.

二、充分条件与判定定理

定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.

只要满足了条件“四边形的两条对角线互相平分”，那么

就可以判定结论“这个四边形一定是平行四边形“成立.

二、充分条件与判定定理

定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所

得的三角形与原三角形相似.

只要满足了条件”用平行于三角形一边的直线去截其他两边，

截得一个三角形“，那么就可以判定结论”截得的三角形与

原三角形相似“成立.

二、充分条件与判定定理

上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式：

“只要满足p成立，那么就可以判定q成立”

（或“若p成立，则q成立”），

即p成立能充分说明q成立.

例如：定理4：若a0,b0,则ab0.

充分条件的语言表述:

“a0,b0”是“ab0”的充分条件.

请尝试用充分条件的语言表示定理5和定理6

三、从集合的角度理解充分条件与必要条件

四、充分条件与必要条件的判定方法

练习（课本15页）

1：用必要条件的语言表述下面的性质：

（1）若A=∅，则A⊆B；

（2）正方形的对角线互相垂直且相等；

（3）两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等.

A⊆B是A=∅的必要条件.

一个四边形的对角线互相垂直且相等是

这个四边形为正方形的必要条件.

两条直线被第三条直线所截，同位角相等是

这两条直线平行的必要条件.

勾股定理：如果一个三角形为直角三角形，

那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理的逆定理：

如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，

那么这个三角形是直角三角形.

思考：根据上面两个定理，回答“三角形是直角三角形”是

“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？

勾股定理：如果一个三角形为直角三角形，

那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.

由原定理：

“三角形是直角三角形”⇒“两边的平方和等于第三边的平方”

“三角形是直角三角形”是“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件；

“两边的