空间向量与立体几何复习巩固训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

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第一章空间向量与立体几何复习巩固

一、单选题

1．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（??）

A． B． C． D．6

2．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（??）

A． B． C． D．

3．已知向量，，，若，，共面，则（??）

A．4 B．2 C．3 D．1

4．设，向量，，，且，，则等于（??）

A． B． C．3 D．4

5．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（??）

A．1 B．2 C．3 D．

6．设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（??）

A． B． C． D．

7．已知空间单位向量，，两两垂直，则（??）

A． B． C．3 D．6

8．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（??）

A． B． C． D．

9．如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（??）

A． B．

C． D．

10．已知，则向量在向量上的投影向量是（??）

A． B． C． D．

二、多选题

11．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（??）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

12．关于空间向量，以下说法正确的是（??）

A．若，则向量，的夹角是锐角

B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面

13．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面ABCD，，下列说法正确的是（??）

A．PB与CD所成的角是60°

B．平面PCD与平面PAB所成的锐二面角余弦值是

C．PB与平面PCD所成的角的正弦值是

D．点A到平面PCD的距离为

14．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（??）

A．平面

B．

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．平面与平面的夹角的正切值为

三、填空题

15．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为．

16．已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是．

17．已知是两个空间向量，若，，则＝.

四、解答题

18．如图所示，在三棱锥中，DA、DB、DC两两垂直，且，E为BC的中点．

(1)证明：；

(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．

19．如图，在正方体中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：

20．如图，已知四边形ABCD为矩形，，E为DC的中点，将沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且．

(1)证明：；

(2)求平面与平面所成角的正弦值．

21．如图，四边形中，，分别在上，.现将四边形沿折起，使得平面平面.

(1)当时，是否在折叠后的上存在一点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由；

(2)设，问当为何值时，三棱锥的体积有最大值？并求出这个最大值.

22．如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.

(1)求证：平面；

(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.

参考答案

1．C

【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.

【详解】因为，所以

，

从而，即的长为．

故选：C.

2．C

【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.

故选：C.

3．D

【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解.

【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，

即，即，解得.

故选：D

4．C

【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解.

【详解】，

，

，，

，

，

，．

，

．

故选：C.

5．A

【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可.

【详解】由题得.

故选：A.

6．B

【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算.

【详解】∵，点Q在直线OP上运动，

∴可设.

又向量，，

∴，，

则.

易得当时，取得最小值.

故选：B.

7．A

【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可.

【详解】因为空间单位向量两两垂直,

所以，

所以

.

故选：A.

8．A

【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解.

【详解】由，的夹角为，且，得，

，

设与的夹角为，则，

由于，故

故选：A

9．D

【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.

【详解】依题意，

.

故选：D

10．C

【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求