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第二章导数与微分

CONTENTS目录O1第一节导数的定义O2第二节导数的运算O3第三节函数的微分

PARTONE第一节导数的定义微分学是微积分学的两大重要组成部分之一.微分学包括一元函数微分学和多元函数微分学.本章主要讨论一元函数微分学.微分学的基本概念是导数与微分.导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，微分则表明了当自变量发生微小变化时函数变化的近似值.

学习目标：1.理解导数的概念.2.理解函数的可导性与连续性之间的关系.

引例：切线的斜率因为割线的斜率：所以切线的斜率：一、导数的概念

1.函数在一点处的导数定义1：

例1

求导步骤:

2.单侧导数定义2：

注意：

3.区间内的导数(导函数)定义3：

思考：

定理1：例2

解：

例3解：

例4解：

定理2证明：二、导数的概念函数的可导与连续的关系

例5解：

课堂小结1.导数的实质:增量比的极限.4.可导与连续的关系可导必连续,但连续不一定可导.2.求导的步骤求增量求比值取极限3.单侧导数：

牛顿(1643—1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》(1736年出版)一书.他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.

莱布尼茨(1646—1716)德国数学家、哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.

作业课本P74，课后练习第1、2题

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第二节导数的运算PARTTWO

学习目标：1.理解导数的几何意义,掌握平面曲线的切线和法线方程的求法.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则.3．掌握隐函数求导法、反函数求导法、由参数方程所确定的函数求导法.4.理解高阶导数的定义,掌握函数的二阶导数计算方法.

一、函数的求导法则1.基本初等函数的导数公式

一、函数的求导法则

2.奇偶函数与周期函数的导数性质例1B

3.导数的几何意义切线的斜率，导数

例2例3

4.导数的四则运算法则在点x处也可导，且

例4解：

例5

二、反函数的导数定理1：

例6

例7

三、复合函数的导数定理2：

例8求下列复合函数的导数.

解：

例9解：

四、隐函数的导数

隐函数的求导方法：

例10解：

例11解：

五、高阶导数

常用的初等函数的n阶导数公式：

例12例13

六、由参数方程确定的函数的导数注意：

例14解：

例15解：

七、幂函数的求导法幂函数的求导分三步：…

例16解：

例17解：

小结5.隐函数求导法则:直接对方程两边求导；8.对数求导法：对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.7.参数方程求导：实质上是利用复合函数求导法则；1.函数的求导法则；3.反函数的导数；4.复合函数的导数：由外向内逐层求导；6.高阶导数；2.导数的几何意义:切线的斜率;

作业课本P82

1（1）（3）（5）（7），4

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第三节函数的微分PARTTHREE

学习目标：1.理解微分的概念.2.掌握微分运算法则.3.会求函数的一阶微分.4.了解导数与微分的关系.

引例一正方形金属薄片受温度影响,其边长由x0变到x0+?x,求此薄片面积改变了多少？解：如图,(1)Δx的线性函数，且为ΔA的主要部分(2)Δx的高阶无穷小量，当|Δx|很小时，可以忽略不计设边长由x0变到x0+?x,记dA=2x0.?x误差

设y=f(x)在x0的某邻域内有定义，如果函数的增量?y=f(x0+?x)?f(x0)可表示成?y=A??x+o(?x)，其中A为只与x0有关而与?x无关的常数，?x高阶的无穷小，则函数y=f(x)在x0处可微，A·?x称为微分，即dy=A??x当自变量在x0处取得增量Δx时，则称它为微分系数,o(?x)是比一、微分的定义

定理1证明：

注意：.

例1

例2解：

d(xm)?mxm?1dxd(sinx)?cosxdxd(cosx)??