垂线段最短模型（解析版）-初中数学.pdf

垂线段最短

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

图示

直线l外一定点A和直线l上一动点P是∠AOB内部一点,点M,N分别是

特点

点BOA,OB上的动点

作点P关于OB的对称点P,过点P作

过点A作AB⊥l于点B,此时

结论OA的垂线,分别与OB,OA交于点N,M,此

AB的值最小

时PN+MN的值最小

1.找模型

遇到“一定点两动点”求线段和(其中一条线段为两动点的连线)最值问题，考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题

结论：作点P关于OB的对称点P，过点P作OA的垂线，分别与OB,OA交于点N,M,此时

PN+MN的值最小

证明:如图,若M,N为OA,OB上任意一点,连接NP,MP,



则PN=PN,

∴当PM⊥OA时,PN+MN的值最小.

思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,

1

则DE的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

思路点拨:遇到角平分线和垂直，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等.

2222

A【解析】在Rt△ACD中,∵AD=5,AC=4,∴CD=AD-AC=5-4=3,当DE⊥AB时,DE

的值最小(垂线段最短),∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°,∴CD=DE(角平分线性质)，∴DE的最小

值为3.

2.模型构造如图,在△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,

E,F分别是AD,AB上的动点,则BE+EF的最小值是.

思路点拨：求线段和最小值，一定点两动点，先转化在一条线段，再利用垂线段

最短求解即可。

针对训练

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点(异于A,B两点)，过点P

分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是.

310

【答案】

5

【解析】如解图,连接PC.在△ABC中,

∵∠ACB=90°,AC=6,BC=2,

2222

∴AB=AC+BC=6+2=210.

2

∵PM⟂AC,PN⊥BC,

∴∠PMC=∠PNC=∠ACB=90°,

∴四边形PMCN是矩形(三个角是直角的四边形是矩形)，

∴MN=PC(矩形的对角线相等),