垂线段最短模型（学生版）-初中数学.pdf

垂线段最短

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

图示

直线l外一定点A和直线l上一动点P是∠AOB内部一点,点M,N分别是

特点

点BOA,OB上的动点

作点P关于OB的对称点P,过点P作

过点A作AB⊥l于点B,此时

结论OA的垂线,分别与OB,OA交于点N,M,此

AB的值最小

时PN+MN的值最小

1.找模型

遇到“一定点两动点”求线段和(其中一条线段为两动点的连线)最值问题，考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题

结论：作点P关于OB的对称点P，过点P作OA的垂线，分别与OB,OA交于点N,M,此时

PN+MN的值最小

证明:如图,若M,N为OA,OB上任意一点,连接NP,MP,



则PN=PN,

∴当PM⊥OA时,PN+MN的值最小.

思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,

1

则DE的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

2.模型构造如图,在△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,

E,F分别是AD,AB上的动点,则BE+EF的最小值是.

针对训练

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点(异于A,B两点)，过点P

分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,点D是BC边上一个动点,连接AD,过点D

作DE⊥AD交AB于点E,则线段AE的最小值为.

3.如图,正方形ABCD的边长为10,E为DA延长线上一动点，连接BE，以BE为边作等边△BEF,连

2

接AF,则AF的最小值为.

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4,点P的坐标为(4,0),点M,N分别在线段

AB,y轴上,求PN+MN的最小值.

5.✔拔高如图，某小区有一块圆形的空地⊙O,在⊙O上点A,B,C,D处安装四个景观灯.已经修好一

条长为20米的经过圆心O的直路BD，根据设计需要在边AD，CD之间再修一条小路EF，使得点

E，F分别在边CD,AD上,为了美观使得CE=DF,B是的中点,经测量AB=12米,并以A,B,

C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形

ABCEF?若存在，请求出五边形AB-CEF周长的最小值；若不存在，请说明理由.

课后练习

1.(2021•枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=63，BD=6，点P是

AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+P