微积分第二篇讲义不定积分示范课.pptx

高等数学基础

微积分

第二篇第一章

不定积分原函数的概念、不定积分的求法本章难点：原函数的概念、分部积分法本章重点：

一、不定积分的概念（一）原函数的概念1、回想求“导数”例如：现在，我们问：这个过程与否能够反过来？即：

【定义1.1】(P－220)【注意】其中c为任意常数因此，都是的原函数。

【例1】给定函数求它的一种原函数。【解】由于我们懂得【例2】给定函数求它的一种原函数。【解】由于

讨论1：任给一种函数，它与否总有原函数？结论1：初等函数总有原函数！答：不一定。讨论2：如果一种函数有原函数，会有多少个原函数？可见，原函数是不唯一的。。结论2：一种函数有原函数的话，就有无穷多个原函数。

（二）不定积分的定义定义1.2:【例】其中f(x)称为被积函数，x为积分变量。

注意：【例如】记住：求不定积分就是求原函数

二、不定积分的求法事实上导数和不定积分是两种互逆运算。 因这类似于求初等函数的导数，求初等函数的不定积分，也分三个方面:（1）积分的基本公式；（2）不定积分的四则运算法则；（3）不定积分与复合运算的关系.

由前面的分析懂得：求导公式反过来就是积分公式．（一）不定积分的基本公式 也就是说，有一种导数公式，反过来就有一种积分公式．导数基本公式积分基本公式

解：注意：幂函数求导数会减少幂次，求不定积分 会增加幂次。解：

解：解：

解：解：

导数基本公式积分基本公式证明：将两个成果统一起来就得到积分公式(3).

【解】导数基本公式积分基本公式

导数基本公式积分基本公式

以上这些积分基本公式都是需要切记的． 另外，有一种办法能够检查不定积分计算的对的与否：就是将计算成果求导数，看与否等于被积函数。 积分公式固然重要，但最重要的还是求导公式。

系统回想一下积分基本公式

（二）不定积分的四则运算法则 事实上都是由求导法则推出来的。

例4：解：性质1性质2

例5：解： 像这种运用不定积分的性质1、2和积分基本公式直接计算出不定积分的办法称为直接积分法．

【练习1】课本225页，练习1.2题1

【解】性质1

求复杂积分的两种办法1、第一换元法（凑微分法）2、分部积分法

（三）第一换元法（凑微分法）分析：

【解】

【基本想法】被积函数复杂时，找一种中间变量将被积函数变成简朴函数求积分。用公式体现为：

第一换元法（凑微分法）的环节：

【解】

解：

【练习2】课本236页，练习1.3题2

【解】

2、第二换元法解：为使被积函数有理化,作变换代入原式得：

（四）分部积分法 重要是用于解决被积函数是两个函数相乘的形式的不定积分。定理1.2（分部积分公式）写成微分形式：

运用分部积分法求不定积分，重要是要纯熟运用分部积分公式。分部积分法求的环节是：将左边复杂的积分化为右边简朴的积分。

解：

问题：两个函数先找哪个函数的原函数呢？办法是：⑴幂函数乘以三角函数时，先找三角函数的原函数；⑵幂函数乘以指数函数时，先找指数函数的原函数；⑶幂函数乘以对数函数时，先找幂函数的原函数。

【解】⑴幂函数乘以三角函数时，先找三角函数的原函数；

解：【注意】持续多次运用分部积分公式

解：

解：

解：

普通地，要记住：

【练习3】课本236页，练习1.3题3

本章习题题1：解：

题2：填空题

题3：解：