圆与圆的位置关系 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

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2.4.1圆的标准方程

第二章直线和圆的方程

2

1

0

dr

d＝r

dr

Δ0

Δ＝0

Δ0

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧.

(1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边.

(3)代数法（弦长公式法）：不算出两交点，设而不求

由垂径定理，得

(2)代数法：计算出两交点

1个

2个

1个

0个

0个

1个

2个

0个

1个

外离

外切

相交

内切

内含

观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？

知识点1、圆与圆的位置关系

1、几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：

r1＋r2

r1＋r2

|r1－r2|

r1＋r2

|r1－r2|

|r1－r2|

类比直线和圆的方程，是否可以利用圆的方程，判断圆与圆的位置关系?

(2)消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程；

2.代数法：

(3)求出△；

(4)判断△的符号，得出结论：

①若△0，则两圆内含或外离；

②若△=0，则两圆内切或外切；

③若△0，则两圆相交．

优点：能求出两圆的交点

缺点：当△0或△=0，不能判断出两圆的确切的位置关系

解法1:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组

①-②，得

联立①③，消去y，可得

方程④的根的判别式△0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.

把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2.

因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交.

解法2:把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得

∴圆C1与圆C2相交.

例2．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a0)，

圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：

(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？

[解析]圆C1，C2的方程，经配方后可得

C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，

C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝a.

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；

当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3|C1C2|5，即3a5时，两圆相交．

(3)当|C1C2|5，即a5时，两圆外离．

(4)当|C1C2|3，即0a3时，两圆内含．

思考：已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0．

1.画出两圆的图象和方程x＋2y－1=0表示的直线的图象；

2.用两圆方程相减，你发现了什么？

当两圆相交时，两圆方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程.

知识点2、公共弦方程

(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

1.若两圆相交，则过交点的圆系方程为

2.若两圆相切(内切或外切),则公切线所在直线方程为

注意：①λ为参数,圆系中不包括圆C2;

②当λ＝－1时,方程两圆的公共弦所在直线方程,即

(也就是两圆方程相减所得)

知识点3、圆系方程

例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.

(1)试判断两圆的位置关系；

(2)求公共弦所在的直线方程；

(3)求公共弦的长度．

例4、已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.

(1)求两圆公共弦所在直线的方程；

(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程

【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:

(1)直线PA、PB的方程；

(2)过点P与⊙C相切的切线长；

(3)∠APB的余弦；

(4)以PC为直径的圆的方程；

(5)直线AB的方程.

(4)x2＋y2－3x－y=0

(5)x－3x＋3=0

【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(5)直线AB的方程.

解3：

1.过圆外一点P(x0,y0)引圆x2+y2=r2的两条切线,则过两切点的直线方程为：

2.过圆外一点P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线,则过两切点的直线方程为

注意：此方程与过圆上一点P(