第四章　§4.10　解三角形应用举例-2025新高考一轮复习讲义.docxVIP

§4.10解三角形应用举例

课标要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

知识梳理

测量中的几个有关术语

术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ360°

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α

例：

坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)西南方向与南偏西45°方向相同．()

(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()

(3)方位角是从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．()

(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()

2．(必修第二册P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()

A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向

C．南偏东80°方向 D．南偏西80°方向

3．(必修第二册P50例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()

A．(30eq\r(3)＋30)m B．(15eq\r(3)＋30)m

C．(30eq\r(3)＋15)m D．(15eq\r(3)＋15)m

4．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5eq\r(3)海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是______海里．

题型一测量距离问题

例1(1)如图，某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在江的南岸，距离为10eq\r(3)km；基站A，B建在江的北岸，测得∠ACB＝45°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，∠ADB＝75°，则基站A，B之间的距离为()

A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)km

C．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km

(2)(2024·厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里

C．20eq\r(2)海里 D．20eq\r(3)海里

思维升华距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．

跟踪训练1(1)(2023·绥化模拟)安邦河，在黑龙江省内有两条．一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川3个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江．安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A，B并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为()

A.eq\f(asinαsinβ,sin?α＋β?) B.eq\f(asinαcosβ,sin?α＋β?)

C.eq\f(asinαcosα,sin?α＋β?) D.eq\f(asin2α,sin?α＋β?)

(2)如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5km，AD＝7km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为________km(精确到0.1km，参考数据：sin40°≈0.643，sin117°≈0.891)．

题型二测量高