第四章　§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念-2025新高考一轮复习讲义.docxVIP

§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念

课标要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

知识梳理

1．角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所成的图形．

(2)分类

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为、、.,按终边位置不同分为和轴线角.))

(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转________的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为________．

(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________.

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于____________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝____________

弧长公式

弧长l＝________

扇形面积公式

S＝________＝____________

3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sinα，x＝cosα，eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)．

(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．

(3)定义的推广

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝________；cosα＝________，tanα＝(x≠0)．

常用结论

1．象限角

2．轴线角

3．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinααtanα.

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．()

(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．()

(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置有关．()

(4)若sinα0，则α是第一或第二象限角．()

2．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()

A．2kπ－45°(k∈Z)

B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)

3．(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sinθ＋cosθ等于()

A.eq\f(17,13)B．－eq\f(17,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)

4．(必修第一册P176T11改编)某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度.

题型一角及其表示

例1(1)(2024·宁波模拟)若α是第二象限角，则()

A．－α是第一象限角

B.eq\f(α,2)是第三象限角

C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角

D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上

eq\f(θ,2)终边所在位置

若θ分别为第一、二、三、四象限角，则eq\f(θ,2)的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示．

典例已知θ为第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，则角eq\f(θ,2)的终边在()

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限

C．第三象限 D．第四象限

(2)(2023·湖州模拟)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________.

思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．

(2)确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法

先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．

跟踪训练1(1)(2023·临沂模拟)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()

A．90°－α B．90°＋α

C．360°－α D．180°＋α

(2)终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内