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课时作业(二十九)对数函数的概念、对数函数的图象和性质
一、选择题
1.若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数,则a=()
A.1B.2
C.3D.4
答案:B
解析:由题可知函数y=logax+a2-3a+2为对数函数,所以a2-3a+2=0?a=1或a=2,又a>0且a≠1,所以a=2.故选B.
2.已知函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x,x≤0,,log3x,x0,))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))的值是()
A.-9B.-eq\f(1,9)
C.9D.eq\f(1,9)
答案:D
3.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()
A.{x|-1<x≤0}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<x≤1}
D.{x|-1<x≤2}
答案:C
4.已知a0且a≠1,函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax+a,x0,,3x+1-1,x≤0,))若f(a)=3,则f(-a)=()
A.2B.eq\f(2,3)
C.-eq\f(2,3)D.-eq\f(8,9)
答案:C
解析:因为a>0且a≠1,所以f(a)=logaa+a=3,解得a=2,所以f(-a)=f(-2)=3-2+1-1=eq\f(1,3)-1=-eq\f(2,3).故选C.
二、填空题
5.(2020·北京卷)函数f(x)=eq\f(1,x+1)+lnx的定义域是________.
答案:(0,+∞)
解析:由题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1≠0,,x0,))解得x0.即函数的定义域是(0,+∞).
6.给出下列函数:①y=(eq\r(x))2;②y=eq\r(x2);③y=2log2x;④y=log22x.则上述函数中,与函数y=x相等的是________(填序号).
答案:④
解析:对于①,y=(eq\r(x))2?y=x(x≥0),不相等;
对于②,y=eq\r(x2)?y=|x|,不相等;
对于③,y=2log2x?y=x(x0),不相等;
对于④,y=log22x?y=x,相等.
7.已知y=f(x)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数,若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2023)=________.
答案:-1
解析:因为y=f(x)为奇函数,所以f(0)=log2a=0?a=1,因此当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),因为y=f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),而y=f(x)为奇函数,所以f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1)?f(x+1)=-f(x-1),因此有f(x+1+1)=-f(x+1-1)?f(x)=-f(x+2),因此有f(x+2)=-f(x+2+2),所以f(x)=f(x+4),所以f(2023)=f(4×506-1)=f(-1)=-f(1)=-log2(1+1)=-1.
三、解答题
8.已知f(x)=logaeq\f(1+x,1-x)(a0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明.
解:(1)∵函数f(x)=logaeq\f(1+x,1-x)(a>0,且a≠1),
∴eq\f(1+x,1-x)>0,即(1+x)(1-x)>0,解得-1<x<1,
故函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由于函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
且f(-x)=logaeq\f(1-x,1+x)=-logaeq\f(1+x,1-x)=-f(x),
故函数f(x)为奇函数.
9.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a0,且a≠1),当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,求a的取值范围.
解:∵a0且a≠1,设t(x)=3-ax,
则t(x)=3-ax为减函数,
当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.
∵当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,
即x∈[0,2]时,3-ax0恒成立.
∴3-2a0,∴aeq\f(3,2).
又a0且a≠1,∴0a1或1aeq\f(3,2),
∴实数a的取值范围为(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2))).
10.已知函数f(x)=log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2+?a-1?x
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