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数学试卷2024.4
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡-并交回.
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点坐标为()
A. B. C. D.
2.已知集合,集合,则()
A., B.,
C., D.,
3.已知是正项等比数列的前项和,且,,则()
A.212 B.168 C.121 D.163
4.复数在复平面内对应的点为,为坐标原点,将向量绕点逆时针旋转后得到向量,点对应复数为,则()
A. B. C. D.
5.函数有且只有一个零点,则的取值可以是()
A.2 B.1 C.3 D.
6.已知正四棱锥,现有五种颜色可供选择,要求给每个顶点涂色,每个顶点只涂一种颜色,且同一条棱上的两个顶点不同色,则不同的涂色方法有()
A.240 B.420 C.336 D.120
7.已知,,,则()
A. B. C. D.
8.我国著名科幻作家刘慈欣的小说(三体II·黑暗森林)中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器,其外形与水滴相似,某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角),圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法,即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液—固两者的相交线,椭圆的短半轴长小于圆的半径)的一部分,设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为,,则()
A. B.
C. D.和的大小关系无法确定
二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题会出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分.若只有2个正确选项,每选对一个得3分;若只有3个正确选项,每选对一个得2分.
9.已知随机变量X、Y,且的分布列如下:
X
1
2
3
4
5
P
m
n
若,则()
A. B. C. D.
10.已知函数;满足:,恒成立,且在上有且仅有2个零点,则()
A.周期为
B.函数在区间上单调递增
C.函数的一条对称轴为
D.函数的对称中心为
11.在棱长为2的正方体中,点E,F分别为棱,的中点,过点的平面与平面平行,点为线段上的一点,则下列说法正确的是()
A.
B.若点为平面内任意一点,则的最小值为
C.底面半径为且高为的圆柱可以在该正方体内任意转动
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题6分共16分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.展开式中项系数为___________.
13.在三角形中、,角刚平分能交于点,若,则三角形面积的最大值为___________.
14.已知函数,存在实数使得成立,若正整数的最大值为8,则正实数的取值范围是___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,
15.(13分)数列满足,,,.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)求正整数,使得.
16.(15分)三棱柱中,,,侧面为矩形,,三棱锥的体积为.
(1)求侧棱的长;
(2)侧棱上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
17.(15分)在平面直角坐标系中,,直线,动点在直线上,过点作直线的垂线,与线段的中垂线交于点.
(1)求点的轨迹的方程
(2)经过曲线上一点作一条倾斜角为的直线,与曲线交于两个不同的点Q,R,求的取值范围.
18.(17分)一次摸奖活动,选手在连续摸奖时,首次中奖得1分,并规定:若连续中奖,则第一次中奖得1分,下一次中奖的得分是上一次得分的两倍:若某次未中奖,则该次得0分,且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖次,总得分为,每次中奖的概率为,且每次摸奖相互独立.
(1)当时,求的概率;
(2)当时,求的概率分布列和数学期望;
(3)当时,判断的数学期望与10的大小,并说明理由.
19.(17分)已知函数,恒成立.
(1)求实数的值;
(2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)数列满足:,,若数列中有无穷个不同的项,求整数的值.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
C
B
B
A
A
AC
BCD
ACD
12. 13.3 14.
15.【详解】:(1)、
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