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跟踪训练02二项式定理

一．选择题（共15小题）

1．把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则

A．5 B． C．4 D．

【解答】解：根据二项式的展开式：，，1，，，

当，2，4，6，8时，

故有5项有理项，4项无理项；

故，，

所以．

故选：．

2．的展开式的常数项为

A．15 B．16 C．120 D．124

【解答】解：，

展开式中的常数项为，中含的项为，

所以的常数项为，

因此的展开式的常数项为．

故选：．

3．在二项式的展开式中，含项的系数是

A．15 B．30 C．40 D．45

【解答】解：，

可知含项的系数是．

故选：．

4．设，则等于

A．45 B．84 C．120 D．165

【解答】解：依题意，

．

故选：．

5．的展开式中的系数为

A．40 B．80 C． D．

【解答】解：根据题意，要找出的展开式中的系数，

等价于找到式中，，几项的系数，

通项公式为，

当时，，系数为，

当时，，系数为，

当时，，系数为，

则的展开式中的系数为．

故选：．

6．设，下列一定不是二项式展开式中的项的是

A．6 B． C． D．

【解答】解：展开式的通项公式为，

．当时，为常数项，此时，为偶数，

当时，，此时，，故有可能，

．当时，此时，为偶数，

当时，，此时，，故有可能，

．当时，此时，

当时，，此时，但此时，故没有可能，

．当时，此时，为偶数，

当时，，此时，此时，故有可能，

故选：．

7．的展开式中的系数是

A．9 B． C．10 D．

【解答】解：由于，

所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，

分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，

因此的展开式中的系数是．

故选：．

8．二项式的展开式中的系数为

A． B．21 C．36 D．

【解答】解：二项式的通项公式为：．

所以令，解得，

所以展开式中的系数为．

故选：．

9．的展开式中，的系数为

A．200 B．40 C．120 D．80

【解答】解：根据的展开式，，2，，5，；

①当时，与配对得到的系数为，

②当时，与配对得到的系数为．

故的系数为．

故选：．

10．已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则

A． B． C．2021 D．

【解答】解：令，得．

又因为，所以．

由，得，

所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，

所以，所以．

故选：．

11．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则的取值范围是

A． B． C． D．

【解答】解：的展开式的通项为，

由题可知，解得．

故选：．

12．设，则

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

令，可得，

令，可得，

所以．

故选：．

13．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为

A．40 B．120 C．240 D．280

【解答】解：随机变量，且，

，

设的展开式通项公式为，，，1，2，，

的展开式通项公式为，，1，2，3，，

的展开式中的指数为2，

，解得或，

的展开式中的系数为．

故选：．

14．展开式中的系数为

A．42 B．48 C．84 D．96

【解答】解：，的第项为，，1，，

，

的系数为42．

故选：．

15．展开式中的系数为

A． B． C．40 D．80

【解答】解：根据的展开式通项，

当时，系数为；

当时，系数为；

故的系数的和为．

故选：．

二．多选题（共5小题）

16．关于的展开式，下列结论正确的是

A．所有项的二项式系数和为32

B．所有项的系数和为0

C．常数项为

D．二项式系数最大的项为第3项

【解答】解：因为，

故所有项的二项式系数和为，故错误；

令可得所有项的系数和为，故正确；

由于展开式的通项为，

令，可得常数项为，故正确；

由于展开式中一共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故错误．

故选：．

17．若，，则

A． B．

C． D．

【解答】解：，令，得，错误，正确；

令，得，正确，错误．

故选：．

18．关于及其展开式，下列说法正确的是

A．展开式中各项系数和为1

B．展开式中第11项的二项式系数最大

C．展开式中第16项为

D．当时，除以3的余数是1

【解答】解：令，可得展开式中各项系数和为，故错误；

因为20是偶数，所以展开式中中间项第11项的二项式系数最大，故正确；

展开式中的第16项为，故错误；

当时，，

其中能被3整除，

所以除以3的余数是1，故正确．

故选：．

19．关于及其展开式，下列说法正确的是

A．该二项展开式中所有项系数和为0

B．该二项展开式中第七项为

C．该二项展开式中不含有理项

D．当时，除以10的余数是1

【解答】解：展开式通项为，，，

令得所有项系数和为0