2022-2023学年北师大版选择性必修第二册第二章6.docxVIP

6.2函数的极值

课后训练巩固提升

A组

1.函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)().

(第1题)

A.无极大值点,有四个极小值点

B.有三个极大值点,两个极小值点

C.有两个极大值点,两个极小值点

D.有四个极大值点,无极小值点

解析:设y=f(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.

答案:C

2.(多选题)y=f(x)的导数y=f(x)的图象如图所示,下列结论中正确的有().

(第2题)

A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数

B.x=-1是f(x)的极小值点

C.f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数

D.x=2是f(x)的极小值点

解析:根据题图知,在区间(-1,2)和(4,+∞)上,f(x)0,函数单调递增;

在区间(-3,-1)和(2,4)上,f(x)0,函数单调递减,故A错误,C正确;

当x=-1时,f(x)取得极小值,故x=-1是f(x)的极小值点,故B正确;

当x=2时,f(x)取得极大值,故x=2不是f(x)的极小值点,故D错误.

答案:BC

3.若函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)上有极值,则实数b的取值范围是().

A.(0,1) B.(-∞,1)

C.(0,+∞) D.-∞,12

解析:f(x)=3x2-3b.

∵函数f(x)在区间(0,1)上有极值,

∴f(0)·f(1)0,即-3b·(3-3b)0.

∴0b1.

答案:A

4.已知奇函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R,且a≠0)在x=1a处取得极值,则ac+2b的值为()

A.3 B.-3 C.0 D.1

解析:∵f(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),∴b=0.

∵f(x)在x=1a处取得极值,f(x)=3ax2+c

∴f1a=

∴ac=-3,∴ac+2b=-3.

答案:B

5.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则().

A.a-1 B.a-1

C.a-1e D.a-

解析:由题意知方程y=ex+a=0有大于0的实根,

则a0,ex=-a,从而x=ln(-a).

∵x0,∴ln(-a)0,

∴-a1,∴a-1.

答案:A

6.已知f(x)=sinx(1+cosx)(0xπ),则当x=时,f(x)取得极大值,其极大值是.

解析:f(x)=(2cosx-1)(cosx+1).

令f(x)=0,得cosx=12或cosx=-1

又0xπ,所以x=π3

当x在区间(0,π)上变化时,f(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下表:

x

0,π3

π

π3,π

f(x)

+

0

-

f(x)

↗

极大值3

↘

故当x=π3时,f(x)有极大值3

答案:π

7.已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是.

解析:由已知得f(x)=3x2-3a.

解方程f(x)=0,得x=±a.

由函数f(x)的单调性得,函数f(x)在x=-a处取得极大值,在x=a处取得极小值.

所以f(-a)=6,f(a)=2,

即(-a)3+3aa+b=6,(a)3-3aa+b=2,

解得a=1,b=4.

代入检验,知符合题意.

所以f(x)=3x2-3.

令f(x)0,解得-1x1,

所以函数f(x)的单调递减区间是(-1,1).

答案:(-1,1)

8.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既存在极大值,又存在极小值,则实数a的取值范围是.

解析:f(x)=3x2+6ax+3(a+2).

要使函数f(x)满足题意,需方程f(x)=0有两个不同的实根,即Δ=(6a)2-36(a+2)0,解得a2或a-1.

答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)

9.已知函数f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]

(1)求实数a的值;

(2)求函数f(x)的极值.

解:(1)由函数f(x)=-14x4+23x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,可知当x=1时函数f(x)取得极小值,∴f(1)=

∵f(x)=-x3+2x2+2ax-2,

∴f(1)=-1+2+2a-2=0,解得a=12

(2)由(1)知f(x)=-14x4+23x3+12x2-

∴f(x)=-x3+2x2+x-2=-(x-1)(x+1)(x-2).

解方程f(x)=0,得x1=-1,x2=1,x3=2.

根据x1,x2,x3列表分析f(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下:

x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,2)

2

(2,+∞)

f(