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重难点突破01抽象函数模型归纳总结
目录TOC\o1-2\h\z\u
01方法技巧与总结 2
02题型归纳总结 3
题型一：一次函数模型 3
题型二：二次函数模型 5
题型三：幂函数模型 7
题型四：指数函数模型 8
题型五：对数函数模型 10
题型六：正弦函数模型 13
题型七：余弦函数模型 15
题型八：正切函数模型 18
03过关测试 20
一次函数
（1）对于正比例函数，与其对应的抽象函数为．
（2）对于一次函数，与其对应的抽象函数为．
二次函数
（3）对于二次函数，与其对应的抽象函数为
幂函数
（4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为．
（5）对于幂函数，其抽象函数还可以是．
指数函数
（6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为．
（7）对于指数函数，其抽象函数还可以是．
其中
对数函数
（8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为．
（9）对于对数函数，其抽象函数还可以是．
（10）对于对数函数，其抽象函数还可以是．
其中
三角函数
（11）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：
（12）对于余弦函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：
（13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是
注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：
（14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：
题型一：一次函数模型
【例1】已知且，则不等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，
构造函数，则，且，
令，则，
令，，得，
，即，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，，
，则.
，
，合乎题意；
，合乎题意；
故选D.
【变式1-1】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（????）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是减函数
【答案】C
【解析】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；
对于B，由，令，有，故B正确.
故选：C
【变式1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式1-3】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（????）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得，
令得，，即，
于是，，则，
从而，有.
故选：D
题型二：二次函数模型
【例2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（????）
A． B．为偶函数
C．有最小值 D．在上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（????）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【变式2-3】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（????）
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C
【解析】由，得，令，得，
令，得，
故，又，
所以，
所以，因为，当时，的最小值为855．
故选：C．
题型三：幂函数模型
【例3】已知函数的定义域为，且，则（????）
A． B． C．是偶函数 D．没有极值点
【答案】D
【解析】令，则，
所以，且为定义域内任意值，故为常函数.
令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以不恒成立，不一定成立，
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