重难点突破03 同构（解析版）.docxVIP

重难点突破03同构

三种基本模式：

①积型：

说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。

②商型：

③和差型：

无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.

一．选择题（共29小题）

1．（2023春?上犹县校级期末）若在，上恒成立，则实数的取值范围是

A．， B．， C． D．

【解答】解：已知在，上恒成立，

即在，上恒成立，

不妨设，函数定义域为，

可得恒成立，

所以在上单调递增，

此时原不等式等价于在，上恒成立，

即在，上恒成立，

不妨设，函数定义域为，，

可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以（1），

此时，

则实数的取值范围为，．

故选：．

2．（2022春?柴桑区校级期中）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为

A． B． C． D．

【解答】解：不等式，

即为，

即有，

所以，

设，

所以，

，

所以单调递增，

所以，

所以，

令，

所以，

所以时，函数递减，时，函数递增，

（e），

即的最大值为．

故选：．

3．（2023?酒泉模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【解答】解：等价于，

令，

则，

所以是增函数，

所以等价于，

所以，

所以，

令，

，

所以在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

所以（e），

所以实数的取值范围为，．

故选：．

4．（2023?香坊区校级三模）设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

所以，

所以，

所以，

令，则，

，

令，得，

所以在，上，，单调递增，

所以当，时，，

因为对任意的，不等式恒成立，

所以对任意的，，不等式恒成立，

即对任意的，，不等式恒成立，

令，

，

令得，

所以在上，单调递增，

在上，单调递减，

所以（e），

所以，

所以，

所以实数的取值范围为，，

故选：．

5．（2021秋?周口月考）若不等式对任意恒成立，则正实数的最大值为

A．2 B． C．3 D．

【解答】解：由题意得，，

即，

令，

所以函数在上单调递增，

从而不等式转化为，

则，

即，

令，

则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，有最小值，

即（1），

则的最大值为，

故选：．

6．（2021?沙坪坝区校级开学）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C．， D．，

【解答】解：因为，不等式成立，即，

转化为恒成立，

构造函数，

可得，

当时，，单调递增，

则不等式恒成立等价于恒成立，

即恒成立，进而转化为恒成立，

设，可得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当，函数取得最大值（e），

所以，

所以实数的取值范围为，，

故选：．

7．（2021春?利通区校级月考）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：因为的定义域为关于原点对称，且，

所以为上的奇函数，

又因为，

而，当且仅当，即时等号成立，

故恒成立，

所以为上的增函数，

不等式对恒成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

即对恒成立，

当时，不等式恒成立，

当时，则，

解得，

综上所述，，，

故选：．

8．（2023?辽宁一模）设，若不等式在时恒成立，则的最大值为

A． B．1 C． D．

【解答】解：对于，即，

因为是的反函数，

所以与关于对称，原问题等价于对一切恒成立，即，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以（1），

所以，

所以的最大值为．

故选：．

9．（2022?秦皇岛开学）已知，若对任意的恒成立，则实数的最小值为

A． B． C． D．

【解答】解：当时，得，即．设，

则原不等式等价于，因为，

故在上单调递增，故对任意的恒成立，即对任意的恒成立，

设，当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，所以，

，

故选：．

10．（2023春?湖北期中）若存在正实数，使得不等式成立是自然对数的底数），则的最大值为

A． B． C． D．

【解答】解：

设，则，

则在上单增，

则

设，则，

当时，，当时，

得在上单增，在上单减，

则当时取得最大值，故，

的最大值为．

故选：．

11．（2023春?渝中区校级期末）若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为

A． B．， C． D．

【解答】解：由，可得，即，

即，

设，则在上恒成立，

又，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

且当时，，当时，，

当时，由于，则，

此时，，满足在上恒成立；

当时，由于，则，

要使在上恒成立，

则需，即在上恒成立，

设，则，

易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，

则（e），

综上，实数的取值范围为，．

故选：．

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