重难点突破07 立体几何中求角度、线段、距离（原卷版）.docxVIP

重难点突破07立体几何中求角度、线段、距离

1．四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，且与平面成角为，点在棱上，且，求平面与平面的夹角的余弦值．

2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为．

（1）求证：平面．

（2）若，求二面角的余弦值．

3．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．

（1）证明：；

（2）若，求点到平面的距离．

4．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点．

（1）证明：．

（2）设，若到平面的距离为，求．

5．如图，正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点．

（1）求点到直线的距离；

（2）求点到平面的距离．

6．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点．

（1）求此三棱柱的表面积；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）求与平面所成角的大小．

7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值．

8．如图正方体中，棱长为，、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的大小．

9．如图，正方体的棱长为2．

（1）用空间向量方法证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

10．如图，在菱形中，，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到点的位置，．

（1）证明：平面平面；

（2）若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值．

11．如图，在三棱柱中，△为等边三角形，四边形为菱形，，，．

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

12．如图，某多面体的底面为正方形，，，，，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求二面角的平面角的正弦值．

13．如图，在四棱锥—中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．

（1）求直线与平面所成角的正切值；

（2）在侧棱内找一点，使面，并求出点到和的距离．

14．如图，在长方体中，，，点在上，且．

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）求点到平面的距离．

15．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图．将沿折起到位置，使得平面平面（如图．

（1）求二面角的余弦值；

（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点是中点．

（1）证明：面；

（2）若面面，求二面角的余弦值．

17．如图，在四棱锥中，，，，，，．是棱上一点，平面．

（1）求证：为的中点；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．

条件①：点到平面的距离为；

条件②：直线与平面所成的角为．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，，的中点分别为，，，且．

（1）证明：平面平面．

（2）若为的中点，求点到平面的距离．

19．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，二面角的大小为，是中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．如图所示，多面体中，底面为正方形，四边形为矩形，且，，．

（Ⅰ）求平面与平面所成二面角大小．

（Ⅱ）点在线段上，当平面时，求与平面所成的角的正弦值．