重难点突破09 导数中的“距离”问题（八大题型）（解析版）.docxVIP

重难点突破09导数中的“距离”问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：曲线与直线的距离 2

题型二：曲线与点的距离 7

题型三：曲线与圆的距离 8

题型四：曲线与抛物线的距离 12

题型五：曲线与曲线的距离 14

题型六：横向距离 19

题型七：纵向距离 23

题型八：直线与两曲线交点的距离 26

03过关测试 28

导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．

题型一：曲线与直线的距离

【典例1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数的最小值为，则正实数（???）

A．3 B． C． D．3或

【答案】D

【解析】表示点与点的距离的平方，

点在曲线上，点在曲线上，

如图，可得，

设与平行的直线与曲线相切于点，．

，，①

点与点的距离的平方的最小值等于点，到直线的距离．

，②

结合①②得，，或，.

故选：D.

【典例1-2】若函数，函数，则的最小值为（???）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，则的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方.

∵

∴

∵直线的斜率为1

∴令，解得，则，

即曲线在处的切线和直线平行，

则最短距离为点到的距离，

∴的最小值为

故选：B

【变式1-1】点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

由，所以，

易得函数为在上单调递增函数，为零点，

此时M的坐标为，

由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.

故选:

【变式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当函数在点处的切线与平行时，最小.

，令得或（舍），所以切点为，

所以的最小值为切点到直线的距离，

所以的最小值为.

故选：D.

【变式1-3】（2024·陕西西安·二模）若，，则的最小值为（????）

A． B．6 C．8 D．12

【答案】C

【解析】由题意，设函数，直线，

设直线与函数的切点为

可得，可得，解得，可得，

即切点坐标为，则切点到直线的距离为，

又因为表示点到直线的距离为平方，

所以的最小值为.

故选：C.

【变式1-4】已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（????）

A． B．3 C．或3 D．1或3

【答案】A

【解析】因为，令，解得，

而，

则函数的图象在点处的切线方程为，

则，即点到直线的距离为，

所以，解得或，

当时，与函数的图象相交，

所以.

故选：A.

【变式1-5】若实数满足，则的最小值是（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】A

【解析】由，得，令，则，

令得，当时，单调递减，当时，单调递增；

由，得，令，

的图像如下图：

则表示上一点与上一点的距离的平方，

显然，当过M点的的切线与平行时，最小，

设上与平行的切线的切点为，由，解得，

所以切点为，切点到的距离的平方为，

即的最小值为8；

故选：A.

【变式1-6】已知实数，，，满足，则的最小值为（????）

A． B．8 C．4 D．16

【答案】B

【解析】由得，，，即，，

的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，

不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，

显然直线与直线的距离的平方即为所求，

由，得，设切点为，，

则，解得，

直线与直线的距离为，

的最小值为8．

故选：B.

题型二：曲线与点的距离

【典例2-1】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以

，选D.

【典例2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，记，

，易知是增函数，且的值域是，

∴的唯一解，且时，，时，，即，

由题意，而，，

∴，解得，．

∴．

故选：C．

【变式2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点与曲线上点距离最小值为，