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2022年上海师大二附中自主招生数学试卷

一、选择题

1．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，BC＝6，则tanα的值等于（）

A． B． C． D．

2．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2（）

A． B． C．1 D．

3．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0），其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝，则k的值为（）

A．36 B．48 C．49 D．64

4．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（）

A． B． C． D．

5．如图，已知△ABC，AB＝BC，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD＝5，CE＝4（）

A．3 B．4 C． D．

6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①2a+b＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中（）

A．①② B．①③ C．②④ D．①④

二、填空题

7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，若保持梯子底端位置不对，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为米．

8．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点．

9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，那么BM的长是．

10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，垂足为E，ED＝3BE，AD上，则AP+PQ的最小值为．

11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，交BC于点E，AB＝6，则AE的长为．

12．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，使点D落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为cm．

13．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分），当乙到达终点A时，甲还需分钟到达终点B．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，连接AE，若CD＝2BE，EO＝1，则线段AE的长为．

15．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0364）．

16．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为．如果图③和图④中的圆圈都有13层．

（1）我们自上往下，在图③的每个圆圈中填上一串连续的正整数1，2，3，4，?，则最底层最左边这个圆圈中的数是．

（2）我们自上往下，在图④的每个圆圈中填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣20，?，则最底层最右边这个圆圈中的数是．

三、解答题

17．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处

（1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的长为．

18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），交AB于点M，当△AMN面积最大时；

（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

2022年上海师大二附中自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，BC＝6，则tanα的值等于（）

A． B． C． D．

【解