数据分析师-数据分析师基础-概率论_大数定律与中心极限定理.docx

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概率论基础

1随机变量与概率分布

1.1原理与内容

随机变量是概率论中的基本概念，它将随机事件的结果映射到实数上。随机变量可以分为离散型和连续型。离散型随机变量的取值是有限或可数无限的，而连续型随机变量的取值是不可数无限的，通常在某个区间内。

概率分布描述了随机变量取值的概率。对于离散型随机变量，我们使用概率质量函数（PMF）来描述；对于连续型随机变量，我们使用概率密度函数（PDF）来描述。概率分布函数（CDF）则描述了随机变量取值小于等于某个值的概率。

1.2示例

假设我们有一个离散型随机变量X，它表示抛掷一枚公平的骰子的结果。X的概率质量函数（PMF）可以表示为：

P

使用Python的numpy和matplotlib库，我们可以绘制这个PMF：

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义随机变量X的取值和概率

x_values=np.arange(1,7)

pmf=np.ones(6)/6

#绘制PMF

plt.bar(x_values,pmf)

plt.xlabel(X的取值)

plt.ylabel(概率)

plt.title(离散型随机变量X的PMF)

plt.show()

2期望与方差

2.1原理与内容

期望值是随机变量的平均值，它反映了随机变量的中心趋势。对于离散型随机变量X，期望值定义为：

E

对于连续型随机变量X，期望值定义为：

E

方差是随机变量与其期望值的偏差的平方的期望值，它反映了随机变量的离散程度。方差定义为：

V

2.2示例

继续使用抛掷骰子的例子，我们可以计算随机变量X的期望值和方差：

#计算期望值

expected_value=np.sum(x_values*pmf)

print(f期望值：{expected_value})

#计算方差

variance=np.sum((x_values-expected_value)**2*pmf)

print(f方差：{variance})

3独立随机变量

3.1原理与内容

独立随机变量是指两个或多个随机变量之间没有相互影响。如果随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布函数可以表示为：

P

独立随机变量的期望值和方差可以分别计算，而它们的和的期望值和方差则可以表示为：

E

V

3.2示例

假设我们有两个独立的随机变量X和Y，它们分别表示抛掷两枚公平的骰子的结果。我们可以计算X+Y

#定义随机变量Y的取值和概率

y_values=np.arange(1,7)

pmf_y=np.ones(6)/6

#计算随机变量Y的期望值和方差

expected_value_y=np.sum(y_values*pmf_y)

variance_y=np.sum((y_values-expected_value_y)**2*pmf_y)

#计算X+Y的期望值和方差

expected_value_sum=expected_value+expected_value_y

variance_sum=variance+variance_y

print(fX+Y的期望值：{expected_value_sum})

print(fX+Y的方差：{variance_sum})

4随机变量序列

4.1原理与内容

随机变量序列是指一系列独立同分布的随机变量。在概率论中，随机变量序列的性质和行为是研究的重点，尤其是在大数定律和中心极限定理中。

随机变量序列的期望值和方差可以分别计算，而它们的和的期望值和方差则可以表示为：

E

V

4.2示例

假设我们有一个随机变量序列{Xi}i=

#定义随机变量序列的长度

n=10

#计算随机变量序列的和的期望值和方差

expected_value_sum_sequence=n*expected_value

variance_sum_sequence=n*variance

print(f随机变量序列的和的期望值：{expected_value_sum_sequence})

print(f随机变量序列的和的方差：{variance_sum_sequence})

以上示例展示了如何使用Python的numpy和matplotlib库来计算和绘制随机变量的期望值、方差和概率分布。这些基本概念是概率论的基石，为后续学习大数定律和中心极限定理提供了必要的数学工具。#大数定律

5弱大数定律的定义与证明

弱大数定律（WeakLawof