上海市吴淞中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷(解析).docxVIP

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吴淞中学2022学年第一学期高一年级数学期期末

2023.1

一.填空题(每题5分,共50分)

1.若扇形的弧长为,半径为2,则该扇形的面积是__________

【答案】

【解析】

【分析】根据扇形面积公式求得正确答案.

【详解】依题意,扇形的面积为.

故答案为:

2.已知一元二次方程的两个实根为,则____

【答案】

【解析】

【分析】先利用韦达定理得到,再由代入即可求解.

【详解】因为一元二次方程的两个实根为,

所以.

故答案为:

3.函数的定义域是__________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用对数式中真数为正得到,再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.

【详解】要使有意义,须,

即,解得或,

即函数的定义域是.

故答案为:.

4.已知,则__________

【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得的值,进而求得的值.

【详解】因为,所以,

所以,

所以.

故答案为:

5.定义且,若,则______

【答案】

【解析】

【分析】根据题目定义,分别求得和,再利用并集运算即可得出结果.

【详解】根据集合且的定义可知,

当时,可得,;

所以

故答案为:

6.将函数的图象向左平移__________个单位可得到函数的图象.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数对数的运算知,即可求解.

【详解】因为,

所以将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象.

故答案为:

7.当,时,则的最小值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】由且,得出,用均值不等式即可得出答案.

【详解】,且,而函数在上单调递增,

,即,且,,

当且仅当,即,时,等号成立,

故答案:

8.已知关于的方程有四个不相等的实数根,则的取值范围___________.

【答案】.

【解析】

【分析】由题知转化为函数与有个不同的交点,画出函数的图像即可求出的取值范围.

【详解】方程有四个不相等的实数根,

等价于函数与有个不同的交点.

由函数的图像知:

的取值范围为:.

故答案为:

【点睛】本题主要考查方程的根的问题,转化为函数的交点问题为解题的关键,属于中档题.

9.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名函数,该函数被称为狄利克雷函数.若存在三个点、、,使得为等边三角形,则________.

【答案】1

【解析】

【分析】由狄利克雷函数分析得出的位置有两种情况,逐一分析即可得出答案.

【详解】,

或1,

存在三个点、、,使得为等边三角形,

不同时为0或1,

不妨设,

分析得的位置有两种情况,

第一种情况:

当为有理数时,即,如图,

过点作,垂足为,得,,,

可知,为无理数,为无理数,

即,,与图形不一致,舍去;

第二种情况:

当为无理数时,即,如图,

过点作,垂足为,得,,,

可知,,,

存在,使得,且为无理数,

即,与图形一致,符合题意,

此时,,

故答案为:1.

10.已知函数在是严格增函数,在上为严格减函数,若对任意,都有,则k的取值范围是_________

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出的最大值,对两边取自然对数,分离,利用不等式恒成立求解即可.

【详解】因为在是严格增函数,在上为严格减函数,

所以

由,可得,

又时,由可得,

即恒成立,

所以,即.

故答案为:

二、选择题(每题5分,共20分)

11.若为第三象限角,则()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用为第三象限角,求所在象限,再判断每个选项的正误.

【详解】因为为第三象限角,所以,

可得,

所以是第第一,二象限角,

所以,不确定,

故选:C

【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号,属于基础题.

12.已知定义域为的函数满足:①对任意,恒成立;②若则.以下选项表述不正确的是()

A.在上是严格增函数 B.若,则

C.若,则 D.函数的最小值为2

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件,探讨函数的性质,再举例判断A;取值计算判断B,C;借助均值不等式求解判断D作答.

【详解】任意,恒成立,

且,假设,则有,

显然,与“若则”矛盾,假设是错的,因此当且时,,

取,有,则,于是得,,

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