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9．2多边形的内角和与外角和

【课标要求】

知识与技能

1．理解多边形的概念和正多边形的概念．

2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3、在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．

过程与方法

经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法．

情感态度价值观

让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造．

【教学重难点】

重点：多边形内角和定理的探索和应用．

难点：多边形的内角和，外角和定理的推导．

【教学过程】

【情景导入，初步认识】

什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？

教学说明

把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫．

【思考探究，获取新知】

探究1多边形的概念

三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.

四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD.

五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE.

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．

注意：①我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)；

②图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．

③与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．

探究2正多边形

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．

如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．

探究3多边形的内角和

我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？

由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．

根据我们的分析，完成下表：

多边形的边数

3

4

5

6

…

n

分成的三角形个数

1

2

3

4

…

n－2

多边形的内角和

180°

360°

540°

720°

…

(n－2)·

180°

由此，我们可以得出：

归纳结论

n边形的内角和为(n－2)·180°.

探究4多边形对角线的条数

你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？

分析：n边形从一个顶点可以画出(n－3)条对角线，n边形共有n个顶点，这样n边形一共可以画n(n－3)条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以n边形一共有n(eq\f(n（n－3）,2)条对角线．

探究5多边形的外角和

与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．

如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．

因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°

又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.

所以四边形的外角和等于360°.

根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：

多边形的

边数

3

4

5

…

n

多边形的内角与外角的总和

3×180°＝540°

4×180°＝720°

5×180°＝900°

…

n×180°

多边形的内角和

180°

360°

540°

…

(n－2)·

180°

多边形的外角和

360°

360°

360°

…

360°

归纳结论

任意多边形的外角和都为360°.

教学说明

我们是把多边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180°，求出多边形内角和与外角和，从而使问题得到解决！

【运用新知，深化理解】

1．如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是(B)

A．九边形 B．八边形

C．七边形 D．六边形

2．若n边形的内角和与外角和的比为7∶2，则n为(D)

A．6B．7C．8D．9

3．如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是2∶1，那么这个多边形是(A)

A．正六边形 B．正八边形

C．正十边形 D．正十二边形

4．四边形的内角和为360度，四个内角中最多可有3个锐角．

5．若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺