专题02空间向量综合应用（解析版）.docx

PAGE1

PAGE1

专题02空间向量应用

经典基础题

题型1法向量

1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可.

【详解】由已知，

设平面的一个法向量为，

取，解得，

选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.

故选：A.

2．（21-22高二·全国·期中）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.

【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为，

则有，即，

令，得，所以，故A,B错误，

令，得，则此时法向量为，故D错误.

故选：C.

3．（22-23高二下·江苏镇江·期中）已知向量，则平面的一个法向量（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据法向量的定义逐项分析判断.

【详解】对于选项A：若，则，

可得，所以可以是平面的一个法向量，故A正确；

对于选项B：若，则，

可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故B错误；

对于选项C：若，则，

可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故C错误；

对于选项D：若，则，

可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故D错误；

故选：A.

4．（22-23高二下·四川成都·期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.

【详解】，，令法向量为，则，

，可取.

故选：A.

5．（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.

【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，

等边△的高为，

在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，

则，且，

所以，，，

若为面PBC的法向量，则，令，则，

又平面PBC，则且k为实数，，故.

故选：D

题型2异面直线角

1．（10-11高二下·江西上饶·期中）若向量，且与的夹角的余弦值为，则（????）

A．2 B．

C．或 D．2或

【答案】C

【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案.

【详解】由题意，向量，

得，解得或，

故选：C

2．（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值．

【详解】由题意可知，三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：

则A0,0,0，．∴．

∴．异面直线与所成角的余弦值为．故选：C．

3．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值．

【详解】将四面体放在如图所示的长方体中，

因为，，

设长方体的长，宽，高分别为，，，

则，可得，，

以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，所以的中点，

所以，，所以，

，，所以．

设直线，所成的角为，,，所以,．故选：A．

4．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.

【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，所以，

设异面直线与所成角为，则，

所以异面直线与所成角为.

故选：D.

5．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.

【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，，

底面，且，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则A0,0,0，C1,1,0，P0,0,1，，则，，

设直线与所成角为，则，

直线与所成角