专题02 平行线模型-“铅笔”模型-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（苏科版）（原卷版）.pdf

专题02平行线模型-“铅笔”模型

专题说明

上节课利用平行线的性质和判定学习了平行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信

同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。

【模型刨析】

模型二：“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.

【典例分析】

【典例1】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝

135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE

∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．

请写出具体求解过程．

问题迁移：

（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运

动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？

请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、

O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【变式1-1】（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F

分别在直线AB，CD

上．

猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝°；

探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；

拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF

的度数．

【变式1-2】（2022春•鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平

分线相交于点F．

（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；

（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间

的数量关系，并证明你的结论．

【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD

（1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°；

（2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数

量关系（直接写出结论）．

（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠

EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的

数．

【夯实基础】

1.（2022秋•朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面

AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝度．

2．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l∥l，若∠1＝35°，则∠2+∠3

12

＝．

3．（2022春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接

BE，DE．

（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；

（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．

①依题意补全图形；

②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．

4．（2021秋•九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的

光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平

面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．

（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝；

（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝