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江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测

数学试卷

2023.09

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足(其中虚数单位),则等于()

A. B. C. D.

2.已知全集,集合,或,则()

A. B.

C. D.

3.在空间直角坐标系中,已知异面直线,的方向向量分别为,,则,所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

4.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为()

A. B.

C. D.

5.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面()

A.若,,则

B.若,,则

C.若,,,则

D.若,,,则

6.设,已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大,且展开式中所有项的系数和为256,则中的系数为()

A. B. C. D.

7.已知在直角三角形中,,以斜边的中点为圆心,为直径,在点的另一侧作半圆弧,为半圆弧上的动点,则的取值范围为()

A. B. C. D.

8.将一个半径为球削成一个体积最大的圆锥,则该圆锥的内切球的半径为()

A. B. C. D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9.已知一组样本数据、、、均为正数,且,若由生成一组新的数据、、、,则这组新数据与原数据的()可能相等

A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差

10.若正实数a,b满足,则下列结论正确的有()

A. B. C. D.

11.已知函数,其中,则()

A.不等式对恒成立

B.若关于方程有且只有两个实根,则的取值范围为

C.方程共有4个实根

D.若关于的不等式恰有1个正整数解,则的取值范围为

12.已知函数及其导函数的定义域均为,若函数,都为偶函数,令,则下列结论正确的有()

A.的图象关于对称 B.的图象关于点对称

C. D.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________.

14.某高中学校在新学期增设了“传统文化”?“数学文化”?“综合实践”?“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有__________种.(用数字作答)

15.设随机变量,记,.在研究的最大值时,某学习小组发现并证明了如下正确结论:若为正整数,当时,,此时这两项概率均为最大值;若不为正整数,则当且仅当取的整数部分时,取最大值.某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现4次,若继续再进行80次投掷试验,则在这100次投掷试验中,点数1总共出现的次数为__________的概率最大.

16.在平面直角坐标系中,若过点且同时与曲线,曲线都相切的直线有两条,则点的坐标为__________.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数(且).

(1)若函数为奇函数,求实数的值;

(2)对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

18.已知在中,,,,.

(1)求的取值范围;

(2)若线段BE上一点D满足,求的最小值.

19.四棱锥中,四边形为梯形,其中,,,平面平面.

(1)证明:;

(2)若,且三棱锥的体积为,点满足,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20.已知函数,其中.

(1)讨论的单调性;

(2)设,若不等式对恒成立,求的取值范围.

21.某校为了增强学生的安全意识,组织学生参加安全知识答题竞赛,每位参赛学生可答题若干次,答题赋分方法如下:第一次答题,答对得2分,答错得1分;从第二次答题开始,答对则获得上一次答题得分的两倍,答错得1分.学生甲参加这次答题竞赛,每次答对的概率为,且每次答题结果互不影响.

(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率;

(2)设学生甲第次答题所得分数的数学期望为.

(ⅰ)求,,;

(ⅱ)直接写出与满足等量关系式(不必证明);

(ⅲ)根据(ⅱ)的等量关系求表达式,并求满足的的最小值.

22已知函数,.