第四章　§4.8　正弦定理、余弦定理-2025新高考一轮复习讲义.docxVIP

§4.8正弦定理、余弦定理

课标要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

知识梳理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝_____________________＝_________________________＝2R

a2＝___________；

b2＝___________；

c2＝___________

变形

(1)a＝2RsinA，b＝________________，

c＝___________________________；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝____________，

sinC＝______________________；

(3)a∶b∶c＝_____________________

cosA＝______________；

cosB＝______________；

cosC＝________________

2.三角形解的判断

A为锐角

A为钝角

或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

解的

个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝__________＝__________＝__________；

(3)S＝____________(r为三角形的内切圆半径)．

常用结论

在△ABC中，常有以下结论：

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(3)ab?AB?sinAsinB，cosAcosB.

(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin?eq\f(A＋B,2)＝cos?eq\f(C,2)；cos?eq\f(A＋B,2)＝sin?eq\f(C,2).

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

(6)三角形中的面积S＝eq\r(p?p－a??p－b??p－c?)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)?a＋b＋c?)).

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．()

(2)在△ABC中，若sinAsinB，则ab.()

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()

(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形．()

2．(必修第二册P44T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()

A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)

3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()

A．有一解

B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________________________________________________________________________.

题型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1(1)(2023·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，则λ的取值范围为()

A．(－2,2) B．(0,2)

C．[－2,2] D．[0,2]

(2)(2024·兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接，不允许折断)，则其中某个三角形外接圆的直径可以是__________(写出一个答案即可)．

跟踪训练1(1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝eq\f(\r(6),2)，A＝45°，则C等于()

A．30°B．60°C．120°D．60°或120°

(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin2A＝asinB，且c＝2b，则eq\f(a,b)等于()

A．2B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)

题型二正弦定理、