素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展02不等式中的恒成立问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】

（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

2.分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

3.其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)

4.其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

5.其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．

思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

1.基本不等式恒成立问题

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.

【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.

故选：D.

2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.

【详解】因为，所以，

因为曲线在M处的切线的倾斜角，

所以对于任意的恒成立，

即对任意恒成立，

即，又，当且仅当，

即时，等号成立，故，

所以a的取值范围是．故选：D．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（????）

A． B．} C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.

【详解】∵，且，

∴，

当且仅当时取等号，∴，

由恒成立可得，

解得：，

故选：D.

4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（????）

A．9 B．12 C．16 D．25

【答案】D

【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.

【详解】因为，所以，

，

当且仅当，即时，等号成立．

因不等式恒成立，只需，

因此，故实数的最大值为25．

故选：D

5．（2023·全国·高三专题练习）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可.

【详解】恒成立，即

，

又，

上述两个不等式中，等号均在时取到，

，

，解得且，又，

实数的取值范围是.

故选：B.

6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.

【详解】依题意，，

因为正数满足，

所以

，

当且仅当，即时两个等号同时成立，

所以的取值范围为.

故选：B

7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.

【详解】正实数满足，

则，

当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，

要使不等式恒成立，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故