2022-2023学年北师大版选择性必修第一册第2章4.docxVIP

4.2直线与圆锥曲线的综合问题

必备知识基础练

1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P

A.-12 B.12 C.-2 D

2.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()

A.x=1 B.x=-1

C.x=2 D.x=-2

3.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且PF1·PF2=

A.双曲线C的渐近线方程为y=±x

B.△PF1F2的面积为1

C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为2

D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1

4.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)

关键能力提升练

5.若椭圆x24+y22=1的弦AB的中点为(-1,-

A.303 B.

C.103 D.

6.设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点.过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=

A.5 B.2 C.3 D.2

7.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为()

A.839 B

C.3239 D

8.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足AF2=2F

A.12 B.33 C.32

9.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点

A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a

B.PB1

C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a

D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线

10.过点E-p2,0的直线与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,F是抛物线的焦点.若A为线段EB的中点且|AF|=3,则p=.

学科素养创新练

11.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.

(1)求点M的轨迹C的方程;

(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.

答案：

1.A2.B

3.AB对于A,双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±x,所以A正确

对于B,由双曲线C:x2-y2=1,可得a=1,b=1,c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),设P(x,y),则PF1=(-2-x,-y),PF2=(2-x,

由PF1·PF2=(-2-x)(2-x)+(-y)2=0,得x2+y

因为点P在双曲线上,所以点P坐标满足x2-y2=1,解得|y|=22

所以△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y|=12×22×22=

对于C,点F1(-2,0)到双曲线其中一条渐近线x-y=0的距离为d=|-2|1+1=1,且等于到另一条渐近线的距离,所以

对于D,由于F1(-2,0),F2(2,0),所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为2,所以圆的方程为x2+y2=2,所以D错误.

4.(1,5)

5.A设A(x1,y1),B(x2,y2),由中点为(-1,-1)可得x1+x2=-2,y1+y2=-2.

因为点A,B在椭圆上,

所以x124+y122=1,x224+y222=1,两式相减整理,得(x1+x2)(x1-x2)4

6.C不妨设该渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,

联立ax+by-ac=0,

由F1(-c,0)及|PF1|=6|OP|,得(a

化简可得3a2=c2,则e=3.

7.C设A(x1,y1),B(x2,y2),

∵AF=3FB,

∴y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1,

由y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4

∴y

∴y1+y2=4m=43

∴m=33,∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233,过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,

∴S△ABG=12×113-1×23+233=

8.B

9.BC设P(x0,y0),代入椭圆方程得x02a2+y02b2=

∵点P在圆x2+y2=b2外,

∴x02+y

∴PB1·PB2=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=x

当点P在长轴端点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2b

∴r≤a2

∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b

直线PB1的方程为y+b=y0+b