专题02 解直角三角形的应用（解析版）.pdf

九年级数学下册解法技巧思维培优

专题02解直角三角形的应用

题型一“共边”型

【典例1】（2019•沙坪坝区校级月考）位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造

森林风景，“虽由人作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣．山中最为瞩目的经典当属揽星塔．登临

塔顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景．登临此塔，让你有

飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角

函数知识估测该塔的高度，已知揽星塔AB位于坡度l=3：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往

前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得揽星塔AB顶端A的仰角为37°，揽星塔底端B的仰

角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（）米，（结果保留整数，参考数

据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）

A．31B．40C．60D．136

【点拨】如图，设AB⊥DC于E，设BE=3x，CE＝x，解直角三角形即可得到结论．

【解析】解：如图，设AB⊥DC于E，

设BE=3x，CE＝x，

在Rt△BDE中，∵∠BDE＝30°，

3

∴DE==3=3x，

30°

3

∴DC＝DE﹣CE＝3x﹣x＝120，

∴x＝60，

∴BE＝603，DE＝180，

在Rt△ADE中，AE＝DE•tan37°＝180×0.75＝135，

∴AB＝AE﹣BE＝135﹣603≈31米，

答：该塔AB的高度为31米，

故选：A．

【典例2】（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已

知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方

向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处

搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【点拨】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC

1

＝45°，由直角三角形的性质得出PC=PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB=2PC＝

2

602海里即可；

（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．

【解析】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：

则∠PCA＝∠PCB＝90°，

由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，

1

∴PC=PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，

2

∴BC＝PC＝60海里，PB=2PC＝602海里；

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里；

（2）∵PA＝120海里，PB＝602海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出

发，

120602

∴救助船A所用的时间为=3（小时），救助船B所用的时间为=22（小时），

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