不等式的证明课件.pptxVIP

考点二用综合法、分析法证明不等式考点三放缩法证明不等式考点四柯西不等式的应用

(1)作差法(a、b∈R):a-b0?①ab;a-b0?ab;a-b=0?a=b.(2)作商法(a0,b0):?②1?ab;?1?ab;?=1?a=b.

(1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的③推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的④充分条件,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、定理等).这是一种⑤执果索因的思考和证明方法.

先假设要证明的命题⑥不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧矛盾的结论,以说明假设⑨不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.

4.放缩法证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩放大或?缩小,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.

如果a、a、…、a为n个正数,则?≥?12n=a=…=a时,等号成立.2n

++∴(a+b)?=2+?+?≥2+2?=4,∴?+?≥?=2,即?+?的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.

2.若ab1,x=a+?,y=b+?,则x与y的大小关系是?()A答案Ax-y=a+?-?=a-b+?=?由ab1得ab1,a-b0,.0,即x-y0,所以xy.

B+3.若a,b,m∈R,且ab,则下列不等式一定成立的是?()A.?≥?B.??C.?≤?D.??答案B∵a,b,m∈R∴?-?=?0,即??,故选B.+,且ab,

2+b=5,ma+nb=5,则?2≥?|ma+nb|=2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=?时取等号,故??

5.设a0,b0,若?是3a与3b的等比中项,求证:?+?≥4.的等比中项得3证明由?是3a与3bab

6.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求?+?+?的最大值.解析(?+?+?)=2(1×?+1×?+1×?)≤2(1+2122当且仅当a=b=c=?时,等号成立.∴(?+?+?)2≤3.故?+?+?的最大值为?.

33222证明∵a,b是非负实数,∴a+b-(a+b)=a=(?-?)[(?)-()当a≥b时,?≥?,从而(?)得(?-?)[(?)-(?)]≥0;当ab时,??,从而(?)(?)得(?-?)[(?)-(?)]0.所以a+b≥?(a+b).33222?55].?5≥(?),55555,553322

方法技巧作差比较法证明不等式的步骤将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)步要判断商与1的大小.

332233222.因为a,b都是正数,所以a+b0.20.20,)0ab证明a,b∈(0,+∞),=??=当a=b时,当ab时,?1,?0,1.当ba时,0?1,?0,1.综上可知,aab

典例2(2017课标全国Ⅱ理,23,10分)已知a0,b0,a(1)(a+b)(a3+b355证明(1)(a+b)(a+b-2a-b55)=a6+ab5+a5b+b633)23b344)2332b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+?(a+b)=2+?,所以(a+b)≤8,因此a+b≤2.3

规律总结1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式+b22≥4ab,?22等;(4)?≥?(a≥0,b≥0),它的变形形式有a+?≥2(a0),?+?≥2(ab0),?+?≤-2(ab0)等.2.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.

2-2(2015课标全国Ⅱ理,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则?+??+?;(2)?+??+?是|a-b||c-d|的充要条件.22?=a+b+2,(+)=c+d+2,且a+b=c+d,???abcd,所以(?+?)2(?+?).2