重难点突破02 奔驰定理与四心问题（解析版）（解析版）.docxVIP

重难点突破02奔驰定理与四心问题

奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．

三角形的内心

1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P

注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等

常见内心的向量表示：

（1）（或）

其中分别是的三边的长

（2），则点的轨迹一定经过三角形的内心

（注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)）

3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。

拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心．

三角形的外心

外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）

注：外心到三角形各顶点的距离相等.

常用外心的向量表示：

（1）

（2）

变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心

3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。

三角形的“重心”

1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G

注：重心将中线长度分成

2、常见重心的向量表示：

设是的重心，为平面内任意一点.

（1）

（2），，，

（3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心.

注：若、、，重心坐标为.

若，则点经过的重心；

3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义

三角形的“垂心”

1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O

注：高线与对应边垂直

2、常见垂心的向量表示

证明：因为，所以，所以，

同理可得，，所以O为垂心

（2）

一．选择题（共22小题）

1．（2023春?叙州区校级期中）若点是的重心，则下列向量中与共线的是

A． B． C． D．

【解答】解：点是的重心，

设，，分别是边，，的中点，

，

同理，

，

，

零向量与任意的向量共线，

故选：．

2．（2023?西安模拟）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示：

由于点为的重心，

所以，故，

故．

故选：．

3．（2022?昌吉州模拟）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点，与点，不重合），设，，则的最小值为

A．2 B． C．4 D．

【解答】解：为的重心，

，

又在线段上，

，

，

，

，

由题意可知，，

，，

，

当且仅当，时等号成立，

，

即的最小值为4．

故选：．

4．（2022?大武口区校级四模）在等边中，为重心，是的中点，则

A． B． C． D．

【解答】解：在等边中，为重心，是的中点，

设是中点，

．

故选：．

5．（2023?普陀区校级模拟）已知点为的外心，且，则为

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【解答】解：由三角形的外心为各边中垂线的交点，结合向量投影的运算可得：

，，，

又，

则，

则，

即，

即为钝角三角形，

故选：．

6．（2020?青秀区校级模拟）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，．则点的轨迹一定通过三角形的

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【解答】解：由正弦定理可知：，为三角形的外接圆的半径，

所以动点满足．因为是以，为邻边的平行四边形的对角线为起点的向量，经过的中点，

所以点的轨迹一定通过三角形的重心．

故选：．

7．（2022?安徽模拟）平面上有及其内一点，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角，，的对边分别为，，，若满足，则为的

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【解答】解：由，得，

由，得，

根据平面向量基本定理可得，

所以，

延长交于，延长交于，

则，又，

所以，

所以为的平分线，

同理可得是的平分线，

所以为的内心．

故选：．

8．（2020?重庆模拟）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有

A．

B．

C．

D．

【解答】解：如图，由题知为垂心，所以，

．

同理，，

，

所以．

．

又，

．

由奔驰定理得，

故选：．

9．（2023?河北区二模）在