2024【高考】数学总复习-第二章-基本初等函数(Ⅰ)2.1.1-指数与指数幂的运算(第一课时)教案-新人教A版必.doc

PAGE

PAGE1

2.1.1指数与指数幂的运算〔第一课时〕

本节开始我们将在回忆平方根和立方根的根底上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回忆了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，表达数学的应用价值．

1.教学重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．

2.教学难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．

复习引入

什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

归纳：在初中的时候我们已经知道：假设，那么叫做a的平方根.同理，假设，那么叫做a的立方根.

根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.

〔二〕形成概念

零的n次方根为零，记为

举例：16的次方根为，

等等，而的4次方根不存在.

小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.

根据n次方根的意义，可得：

肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？

让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.

通过探究得到：n为奇数，

n为偶数,[

如

小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就防止出现错误.

例1：求以下各式的值

【分析】：当n为偶数时，应先写，然后再去绝对值.

2.观察以下式子，并总结出规律：＞0

①

②

③

④

小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，〔分数指数幂形式〕.

根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：

即：义为：

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

即：

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

假设＞0，P是一个无理数，那么P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.

即：的缺乏近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.

所以，当缺乏近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.

当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)

所以，是一个确定的实数.

一般来说，无理数指数幂

是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的缺乏近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.

思考：的含义是什么？

由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：

例2〔P56，例2〕求值

；；；.

例3〔P56，例3〕用分数指数幂的形式表或以下各式〔＞0〕

；；.

分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.

解：；

；

.

例4.计算以下各式〔式中字母都是正数〕：

⑴；⑵.

解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；

⑵原式=

说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号.同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.[:]

例5.计算以下各式：

〔1〕；〔2〕(a0).

说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计