重难点突破04 立体几何表面积与体积（原卷版）.docxVIP

重难点突破04立体几何表面积与体积

1．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该四面体的体积为

A．1 B．2 C．4 D．8

2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为

A． B． C． D．

3．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则

A． B． C． D．

二．多选题（共1小题）

4．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，，，则

A．当时，

B．当，时，点到平面的距离为

C．当时，平面

D．当时，三棱锥的体积恒为

三．填空题（共1小题）

5．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则．

四．解答题（共15小题）

6．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

7．如图，在四棱锥中，，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）设，，求三棱锥的体积．

8．如图，在正四棱锥中，，分别为，的中点，．

（1）证明：，，，四点共面．

（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．

9．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．如图所示，是长方体．

（1）求证：三棱锥为鳖臑；

（2）若，，，求三棱锥的表面积．

10．如图1，在中，，分别为，的中点；为的中点，，，将沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2，点是线段上的一点（不包含端点）．

（1）求证：；

（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

11．如图，在棱长为1的正方体中，点平面，且满足．

（1）利用向量基本定理求的值；

（2）求三棱锥的体积．

12．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点．

（1）求证：面面；

（2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值；

（3）若平面与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积．

14．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义，为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．

（1）求该圆柱的侧面积的最大值；

（2）求该圆柱的体积的最大值．

15．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．

（1）已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；

（2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．

16．已知四棱锥，底面是菱形，，底面，且，点，分别是棱和的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

17．如图，在正四棱锥中，，是棱的中点；

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

18．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别是、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的表面积．

19．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，，．

（1）若与相似，三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；

（2）求四棱锥体积的最大值．

20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．

（1）求该蒙古包的侧面积；

（2）求该蒙古包的体积．