重难点突破04 立体几何表面积与体积（解析版）.docxVIP

重难点突破04立体几何表面积与体积

一．选择题（共3小题）

1．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有一个“鳖臑”，底面，，且，，则该四面体的体积为

A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：依题意有，底面，，且，，

则

．

所以该四面体体积为2．

故选：．

2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为

A． B． C． D．

【解答】解：如图示圆柱中，底面半径为，底面直径为，母线长为．

过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面为一个椭圆面，且．

在直角三角形中，，，所以．

所以为母线的中点，过作与圆柱底面平行的平面则平分整个圆柱．

在下半个圆柱中，椭圆面截两部分的体积为，

所以椭圆面截整个几何体，所得两部分的体积之比为．

故选：．

3．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接交于点，连接，

则平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，

显然，．

设平行四边形的面积为，因为点为的中点，所以，

设到平面的距离为，因为点为的中点，所以点到平面的距离为，

取中点，连接，则，且，

又点，，共线且，所以，且，

所以，所以，所以点到平面的距离为，

故，

，

因此．

故选：．

二．多选题（共1小题）

4．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，，，则

A．当时，

B．当，时，点到平面的距离为

C．当时，平面

D．当时，三棱锥的体积恒为

【解答】解：对于，

当时，此时点与点重合，由正方体性质可得，，，

所以四边形为平行四边形，从而，

又因为，所以，即，故正确；

对于，当时，此时点为的中点，

由选项分析可知，平面，平面，

所以平面，从而得点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，

因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，且△为边长为的等边三角形，

所以，从而得，解得，故错误；

对于，

当时，此时，，三点共线，

由选项分析可知平面，同理可证平面，

又因为，平面，，，平面，

所以平面平面，又平面，从而得平面，故正确；

对于，

当时，点在△中与平行的中位线上，即，

由选项分析可知平面，且平面，

所以平面，从而点到平面的距离为定值，

为点到平面的距离的一半，即，

底面为边长为的等边三角形，所以，

则的体积为，故正确．

故选：．

三．填空题（共1小题）

5．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则．

【解答】解：如图，

延长，交于点，连接交于点，

底面为平行四边形，与全等，

且与相似，相似比为2，

设的面积为，则四边形的面积为，

设点到底面的距离为，则，

又为的中点，，

，得，

，

，

则．

故答案为：．

四．解答题（共15小题）

6．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）证明：在三棱柱中，平面，则平面，

由平面，则，

因为，则，又为的中点，所以，

又，，平面，所以平面，

由平面，所以．

（2）设点到平面的距离为，则等于点到平面的距离，

易知，△的面积为，

所以．

7．如图，在四棱锥中，，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）设，，求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）取的中点，连接，

因为，为中点，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，所以，

又因为，，所以，

且，，平面，所以平面．

（2）由（1）知，平面，

因为平面，所以，

又，，所以，

因为，所以为等腰三角形，

所以，

所以，

所以．

8．如图，在正四棱锥中，，分别为，的中点，．

（1）证明：，，，四点共面．

（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．

【解答】解：（1）证明：因为，分别为，的中点，

所以，，

所以，

故，，，四点共面；

（2）由正四棱锥的对称性知，，，

设点到平面的距离为，点到平面的距离为，

由是的中点得，

由得，

所以．

9．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．如图所示，是长方体．

（1）求证：三棱锥为鳖臑；

（2）若，，，求三棱锥的表面积．

【解答】解：（1）证明：是长方体，则底面，

则，则面是直角三角形，

同时，，则面是直角三角形，

又由面，则有，面为直角三角形，

同时，，则面是直角三角形，

故棱锥的四个面均为直角三角形，故三棱锥为鳖臑；

（2）根据题意，△中，，其面积，

△中，，且，其面积，

中，，其面积