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重难点突破05嵌套函数

我们把形如或的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式:

型

这一类型是同一个函数自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后根据题设条件解出相应的值或范围,最后利用函数或利用函数与的图像关系解得问题.

“型

这一类型是两个函数的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后通过中间变量即是“内层函数”的函数值,又是的自变量,或利用与两个函数的性质,或做出并利用与两个函数的图像来解决问题.

在数学命题中,嵌套函数问题常以能力型问题出现,且常处于客观题压轴的位置.这类问题因其抽象程度高,综合性强,能很好地考查数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养,因而是高考或各地模拟考试的热点题型.

一．选择题（共11小题）

1．已知函数是上的奇函数，当时，．若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【解答】解：由题设，若，则，

所以，值域为，函数图象如下：

当，时，只有一个，与之对应；

当，时，有两个对应自变量，

记为，，则；

当时，有三个对应自变量且，0，；

当，时，有两个对应自变量，

记为，，则；

当，时，有一个，与之对应；

令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，

若有三个解，则，0，，此时有7个解，不满足；

若有两个解，且，此时和各有一个解，

结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的；

若有一个解，则有两个解，此时，，，

所以对应的，，，

综上，，，．

故选：．

2．已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为

A．5 B．6 C．7 D．3

【解答】解：令，则有，

作出的图象，如图所示：

设直线与相切，切点为，，

则有，解得，，

设直线与相切，切点为，，

则有，解得，，

所以直线与的图象有4个交点，

不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，

由图象可知，，，，

由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，

所以有6个零点．

故选：．

3．已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为

A．3 B．5 C．7 D．9

【解答】解：设，令可得：，

对于，，故在处切线的斜率值为，

设与相切于点，，

，切线斜率，则切线方程为：，

即，，解得：；

由于，故作出与图象如下图所示，

与有四个不同交点，

即与有四个不同交点，

设三个交点为，，，，由图象可知：，

作出函数，的图象如图，

由此可知与无交点，与有三个不同交点，与，各有两个不同交点，

的零点个数为7个，

故选：．

4．已知函数，则函数的零点个数为

A．5 B．6 C．7 D．8

【解答】解：令，则有，

作出的图象，如图所示：

设直线与相切，切点为，，

则有，解得，，

设直线与相切，切点为，，

则有，解得，，

所以直线与的图象有4个交点，

不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，

由图象可知，，，，

由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，

所以有6个零点．

故选：．

5．已知函数，则函数的零点个数为

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：设，则，

令，可得，

在处的导数为，

与在轴左边没有交点，

作出与的图象，如图所示，

数形结合可得与两交点横坐标满足：，，

又，作出，与的图象，如图所示，

数形结合可得，与的图象共有三个交点，交点横坐标分别为，，，

故的零点个数为3，

故选：．

6．已知函数，g（x）＝x﹣k，函数g（f（x））有4个不同的零点x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）

A． B． C． D．（0，+∞）

【解答】解：g（f（x））＝f（x）﹣k，令g（f（x））＝0，得f（x）＝k，

函数g（f（x））有4个不同的零点，即f（x）＝k有4个不同的根；

根据题意，作出f（x）的图像，如图：

明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，

因为x4＞x3＞0，故，

令，得或x＝9，故，

又因为x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4，

则，整理得，

故x1+x2+x3+x4的取值范围为．

故选：B．

7．已知函数，函数恰有5个零点，则的取值范围是

A． B． C．， D．

【解答】解：当时，．由，得，由，得，

则在，上单调递减，在上单调递增，

故的大致图象如图所示．

设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，

则最多有3个不同的实根，不符合题意．

当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，

则有4个不同的实根，不符合题意．

当时，有3个不同的实根，，，且，，，，．

有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，

则有7个不同的实根，不符合题意．

当