2025届高考考数学 导数常考题型分析 复习讲义-.docx

高考中导数的方法与常考题型分析

高考中导数的方法与常考题型分析

导数是解决最值的一种好方法，从2002年开始高考一直到现在，每年都是以较难的形式进行考查，不管是地方卷，还是全国卷，以及新课标卷，基本都是以压轴题或者较难的选择填空题进行考查，学生们在实际的操作中得分较低。

从2020开始的新高考中，导数的简单题的难度在变化中，特别是2024年的高考题，导数都不是以压轴题的形式出现，但是很多学生还是做不完整。

导数的主体是两种形式，一是曲线上一点处的切线方程；二是用导数研究函数的单调性。但是衍生出来的题型或方法很多，而且思维跳跃性也非常大，这样就导致了很多学生对知识点和方法没有一个清晰的梳理，学的不扎实，往往做题时没有思路。

每年的高考导数中，都会产生高质量的题型，同时特别好的方法会五六年重复考查。经典的方法有：作差法，构造函数模型法，分离常数法等等，本文件就对高考中导数的常考方法做一梳理，尽可能地帮助学生们在自学和独立思考奠定基础。

一、导数的概念

一般地，函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数，记作或，即。

导数的变形公式：①

②

例：已知，求

解：根据变形公式，。

导函数的几何意义

导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况，那么，导数的几何意义是什么？

求函数上一点处的切线斜率，主要是两步：

①第一步：给原函数求导，

②第二步：将切点的横坐标代入导函数，即。

函数上一点处的切线方程的基本步骤：

①第一步：对原函数求导，②第二步：将切点的横坐标代入导函数，即，

③第三步：（看切点的纵坐标是否已给，如果没有，先求切点的纵坐标）然后利用点斜式求切线方程，或者，

④第四步：将直线化成一般式或斜截式。

（已知点在函数上，切点已知，在一点处的切线方程）

求斜率，求，点斜式求切线方程，则。

（切点未知，过一点处的切线方程）

三、求导的公式

1若(为常数，常数求导为0)，则0。

2若（幂函数求导），则。

3若（正弦函数求导），则。

4若（余弦函数求导），则。

5若（指数函数求导），则。

6若（以为底的指数函数求导），则。

7若（对数函数求导），则。

8若（以为底的对数函数求导），则。

2导数的运算法则

1（函数和差的导数等于函数导数的和差）。

2(函数的乘积求导，就是前导后不导加上前不导后导)。

3(除法求导，先分母的平方，分子上就是上导下不导减去上不导下导)。

4（常数乘以一个函数求导，常数不动，只给函数求导）。

5（复合函数求导，先对外层函数求导，再对内层函数求导。）

四、用导数求函数的单调性

1函数的单调性与极值

（1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.

（2）求可导函数极值的步骤:

①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.

2.函数的最大值和最小值

（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：

①求在内的极值。

②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。

五、经典方法与题型分析

（一）函数的求导

例1：（对函数求导）

解：。

例2：（函数乘积求导）

解：。例3：（函数除法求导）

解：。

例4：（复合函数求导）

解：

【注意】：①函数，求导；②，求导；③复合函数求导有两步：，。

（二）函数上一点处切线的斜率和切线方程

例1：已知函数，求函数在处的切线斜率

解：第一步：对原函数求导，，

第二步：将代入导函数，。

例2：设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为

解：对上述函数求导，，，因为，所以。

例3：求函数在处的切线方程。

解：根据题意，求导，求斜率，点斜式求切线方程:

，切线方程为：。

例4：函数在处的切线

解：根据题意，求导，，，则切线方程为，切线方程为：。

【注意】：在求切线方程时，注意切点的坐标是否已知，切线方程最后要写成一般式或斜截式。

（三）过一点处的切线方程（已知点不在函数图像上）

例1：过坐标原点的直线与曲线相切，求切线方程

解：根据题意，设切点为，求导，求斜率，点斜式切线方程为：，因切线过坐标原点，则，，将代入切线方程，，切线方程为。

例2：设直线是曲线的一条切线,则实