重难点突破06 恒成立与能成立问题（原卷版）.docxVIP

重难点突破06恒成立与能成立问题

1．恒成立问题的转化：恒成立；

2．能成立问题的转化：能成立；

3．恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M

另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值．

4．设函数、，对任意的，存在，使得，则

5．设函数、，对任意的，存在，使得，则

6．设函数、，存在，存在，使得，则

7．设函数、，存在，存在，使得，则

8．设函数、，对任意的，存在，使得，设在区间[a，b]上的值域为A，在区间[c，d]上的值域为B，则A?B．

9．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方．

10．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方．

恒成立问题的基本类型

在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．

函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等…

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点．

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象．

二、恒成立问题解决的基本策略

大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题．等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的．

（一）两个基本思想解决“恒成立问题”

思路1．

思路2．

如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数的最值．

1．（2023春?海淀区期末）已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的零点个数；

（Ⅲ）若对任意的，，都有，求实数的最大值．

2．（2023?青羊区校级模拟）已知函数，其中为实数．

（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；

（2）求证：对任意的实数，方程均有解．

3．（2023春?通州区期末）已知函数，．

（Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求的零点个数；

（Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有．

4．（2023春?渝中区校级期末）（1）不等式对任意的恒成立，求的取值范围．

（2）当，求证：（参考数据：，．

5．（2023?宜章县二模）已知函数，为常数，且．

（1）判断的单调性；

（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．

6．（2023?河南开学）已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围．

7．（2023春?西城区期末）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数存在两个不同的极值点，，证明：．

8．（2023春?东城区校级月考）设函数，．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；

（3）若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围．

9．（2023春?朝阳期末）已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．

10．（2023春?大连期末）已知函数．

（1）判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

11．（2023春?滨海新区校级月考）已知函数（a∈R）．

（1）a＝0时，求函数f（x）的单调性；

（2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；

（3）若对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒有成立，求实数m的取值范围．

12．（2023春?咸阳期末）已知函数，其中．

（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；

（2）若对于任意，，都有成立，求的取值范围．

13．（2023?乌鲁木齐模拟）已知在处的切线方程为．

（1）求函数的解析式；

（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．

14．（2023春?朝阳区校级期末）已知函数，（其中．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围．

15．（2023春?鼓楼区校级期末）已知定义在上的奇函数和偶函数满足．

（1）求函数的值域；

（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

16．（2023春?芗城区校