数据分析师-数据分析师基础-概率论_布朗运动.docx

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概率论基础

1随机变量与概率分布

1.1原理与内容

随机变量是概率论中的基本概念，它将随机事件的结果映射到实数上。随机变量可以分为离散型和连续型。离散型随机变量取值为可数集，而连续型随机变量取值为实数集中的一个区间。

概率分布描述了随机变量取值的概率。对于离散型随机变量，我们使用概率质量函数（PMF）来描述；对于连续型随机变量，我们使用概率密度函数（PDF）来描述。

1.2示例

假设我们有一个公平的六面骰子，我们关心的是掷出的点数。这是一个离散型随机变量的例子。我们可以定义一个随机变量X，表示掷出的点数。X的概率质量函数（PMF）为：

P

在Python中，我们可以使用numpy和matplotlib来可视化这个PMF：

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义随机变量X的取值

x=np.arange(1,7)

#定义概率质量函数

pmf=np.ones(6)/6

#绘制概率质量函数

plt.bar(x,pmf)

plt.xlabel(点数)

plt.ylabel(概率)

plt.title(六面骰子的概率质量函数)

plt.show()

2期望与方差

2.1原理与内容

期望是随机变量的平均值，它反映了随机变量的中心趋势。对于离散型随机变量X，期望定义为：

E

对于连续型随机变量X，期望定义为：

E

其中fx是X

方差是随机变量与其期望值的偏差的平方的期望值，它反映了随机变量的离散程度。方差定义为：

V

2.2示例

继续使用六面骰子的例子，我们可以计算X的期望和方差：

E

V

在Python中，我们可以使用numpy来计算这些值：

importnumpyasnp

#定义随机变量X的取值

x=np.arange(1,7)

#定义概率质量函数

pmf=np.ones(6)/6

#计算期望

expectation=np.sum(x*pmf)

print(f期望值：{expectation})

#计算方差

variance=np.sum((x-expectation)**2*pmf)

print(f方差：{variance})

3大数定律与中心极限定理

3.1原理与内容

大数定律描述了当独立同分布的随机变量的个数趋于无穷大时，它们的样本平均值趋于期望值。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。

中心极限定理描述了当独立同分布的随机变量的个数趋于无穷大时，它们的样本平均值的分布趋于正态分布。中心极限定理是概率论和统计学中的一个非常重要的定理，它解释了为什么在许多实际问题中，随机变量的分布往往呈现出正态分布的特性。

3.2示例

假设我们有一个公平的六面骰子，我们连续掷n次，然后计算平均点数。根据大数定律，当n趋于无穷大时，平均点数将趋于期望值3.5。在Python中，我们可以使用numpy来模拟这个过程：

importnumpyasnp

#定义随机变量X的期望值

expectation=3.5

#定义掷骰子的次数

n=10000

#模拟掷骰子的过程

rolls=np.random.randint(1,7,size=n)

#计算平均点数

average=np.mean(rolls)

print(f平均点数：{average})

#绘制平均点数与期望值的差异

plt.hist(rolls,bins=6,range=(0.5,6.5),density=True)

plt.axvline(expectation,color=r,linestyle=dashed,linewidth=2)

plt.xlabel(点数)

plt.ylabel(频率)

plt.title(六面骰子的频率分布)

plt.show()

在这个例子中，我们连续掷了10000次骰子，然后计算了平均点数。我们可以看到，平均点数非常接近期望值3.5。此外，我们还绘制了点数的频率分布，可以看到它呈现出均匀分布的特性，这与我们定义的概率质量函数是一致的。#布朗运动的引入

4布朗运动的历史背景

布朗运动，这一概念最早由苏格兰植物学家罗伯特·布朗在1827年观察到。当时，布朗正在研究花粉颗粒在水中的运动，他注意到花粉颗粒在显微镜下表现出一种无规则的、随机的运动模式。这种运动并非由外界刺激引起，也不遵循任何可预测的路径，而是呈现出一种持续的、微小的振动。布朗的这一发现，最初被归因于生物活动，但后来的研究表明，这种运动实际上是由水分子对花粉颗粒的随机碰撞所引起的，