数据分析师-数据分析师基础-概率论_连续型随机变量的期望与方差.docx

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概率论基础

1连续型随机变量的概念

在概率论中，随机变量是用来描述随机现象的数学工具。连续型随机变量是指其可能取值在某个区间内连续变化的随机变量。与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是无限多个，且这些值在一定范围内是连续的。例如，测量一个人的体重、身高或某个地区的温度，这些值都可以在一定范围内连续变化，因此可以用连续型随机变量来描述。

1.1描述方式

连续型随机变量通常通过概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）来描述。

概率密度函数（PDF）：对于连续型随机变量X，其概率密度函数fx描述了X在某一点x处取值的概率密度。需要注意的是，fx在某一点的值并不直接表示X取该值的概率，而是表示在

对于所有x，fx

?∞

分布函数（CDF）：连续型随机变量X的分布函数Fx定义为X取值小于等于x的概率，即F

Fx

limx→?

1.2示例

假设随机变量X服从均匀分布Ua,b，其中a和b

f

分布函数为：

F

我们可以使用Python的scipy库来计算均匀分布的PDF和CDF。

importnumpyasnp

fromscipy.statsimportuniform

#定义均匀分布的参数

a=0

b=10

#创建均匀分布对象

dist=uniform(a,b-a)

#计算PDF和CDF

x=np.linspace(a,b,100)

pdf=dist.pdf(x)

cdf=dist.cdf(x)

#输出PDF和CDF的前10个值

print(PDF前10个值:,pdf[:10])

print(CDF前10个值:,cdf[:10])

2概率密度函数与分布函数

概率密度函数（PDF）和分布函数（CDF）是描述连续型随机变量的两种基本函数。PDF提供了随机变量在某一点的概率密度，而CDF则给出了随机变量取值小于等于某值的概率。

2.1概率密度函数（PDF）

概率密度函数fx描述了随机变量X在x处的密度，即单位长度内X取值的概率。对于任意区间a,b

P

2.2分布函数（CDF）

分布函数Fx定义了随机变量X取值小于等于x的概率。对于任意x

F

2.3关系

PDF和CDF之间存在密切的关系。具体来说，CDF是PDF的积分，而PDF是CDF的导数：

F

f

2.4示例

假设我们有一个随机变量X，其PDF为fx

importnumpyasnp

fromscipy.statsimportnorm

#创建标准正态分布对象

dist=norm()

#计算CDF

x=np.linspace(-3,3,100)

cdf=dist.cdf(x)

#输出CDF的前10个值

print(CDF前10个值:,cdf[:10])

在上述代码中，我们使用了scipy.stats.norm来创建一个标准正态分布对象，并计算了其CDF。标准正态分布的CDF没有简单的闭式表达，通常需要通过数值积分或查表来计算。

通过理解连续型随机变量的概念以及如何使用概率密度函数和分布函数来描述它们，我们可以更好地分析和理解许多实际问题中的随机现象。#连续型随机变量的期望

3期望的定义与性质

3.1定义

在概率论中，连续型随机变量的期望（或数学期望）是随机变量取值的加权平均，权重是随机变量取该值的概率密度。对于一个连续型随机变量(X)，其期望(E(X))定义为：

[E(X)=_{-}^{+}xf(x),dx]

其中，(f(x))是(X)的概率密度函数。

3.2性质

线性性：对于任意的连续型随机变量(X)和(Y)，以及常数(a)和(b)，有[E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)]

非负性：如果随机变量(X)，则(E(X))。

期望的乘积：如果(X)和(Y)是独立的连续型随机变量，则[E(XY)=E(X)E(Y)]

3.3示例

假设(X)是一个均匀分布在([0,1])上的连续型随机变量，其概率密度函数为(f(x)=1)（当(0x)时），我们计算(X)的期望。

importsympyassp

#定义变量

x=sp.symbols(x)

#定义概率密度函数

f_x=1

#计算期望

E_X=sp.integrate(x*f_x,(x,0,1))

print(E_X)

输出结果为(0.5)，这符合均匀分布的期望计算公式。

4常见连续型随机变量的期望计算

4.1均匀分布

对于均匀分布在([a,b])上的连续型随机变量(X)，其期望为[E(X)=]

4.2正态分布

对于正