第46讲　第2课时　非线性回归模型与回归效果分析.docx

第2课时非线性回归模型与回归效果分析

研题型能力养成

举题说法

非线性经验回归方程

视角1指数型经验回归方程

例1－1(2023·扬州期初节选)云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：

年份

2017年

2018年

2019年

2020年

2021年

年份代码x

1

2

3

4

5

云计算市场规模y/亿元

692

962

1334

2091

3229

经计算得：eq\i\su(i＝1,5,)lnyi＝36.33，eq\i\su(i＝1,5,)(xilnyi)＝112.85.根据以上数据，建立y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eeq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))(e为自然对数的底数)．

【解答】因为eq\o(y,\s\up6(∧))＝eeq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，所以lneq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，所以eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)(xilnyi)－\x\to(x)\i\su(i＝1,5,)lnyi,\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(112.85－3×36.33,1＋4＋9＋16＋25－5×32)＝eq\f(3.86,10)＝0.386，所以eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,)lnyi－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×36.33－0.386×3＝6.108，所以eq\o(y,\s\up6(∧))＝eb∧x＋eq\o(a,\s\up6(∧))＝e0.386x+6.108.

视角2对数型经验回归方程

例1－2某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次xi和农产品销售量yi(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图．

(1)利用散点图判断，eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(a,\s\up6(∧))＋eq\o(b,\s\up6(∧))x和eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(c,\s\up6(∧))＋eq\o(d,\s\up6(∧))lnx哪一个更适合作为观看人次x和销售量y的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)．

【解答】由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(c,\s\up6(∧))＋eq\o(d,\s\up6(∧))lnx更适合．

(2)对数据作出如下处理，得到相关统计量的值如下表：

eq\x\to(x)

eq\x\to(y)

eq\x\to(ω)

9.4

30.3

2

eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2

eq\i\su(i＝1,10,)(ωi－eq\x\to(ω))2

366

6.6

eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))

eq\i\su(i＝1,10,)(ωi－eq\x\to(ω))(yi－eq\x\to(y))

439.2

66

其中令ωi＝lnxi，eq\x\to(ω)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)ωi.根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量．,参考数据：ln2≈0.69，ln7≈1.95.

【解答】令ω＝lnx，则eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(c,\s\up6(∧))＋eq\o(d,\s\up6(∧))ω.因为eq\i\su(i＝1,10,)(ωi－eq\x\to(ω))(yi－eq\x\to(y))＝66，eq\i\su(i＝1,10,)(ωi－eq\x\to(ω))2＝6.6，所以eq\o(d,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)(ωi－\x\