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2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题参考答案

（考试时间：2023年5月21日上午9:30−−12:00）

一、填空题（每小题7分，共56分）

1、用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案，

且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为．

解：将12种不同的动物图案编号为1，2，…，12,如果考虑相同的一种动物是1号，最多有3种，

如(1,2,3,4),(1,5,6,7),(1,8,9,10)；相同的一种动物为2号时，最多有2种，如(2,5,8,11),(2,6,9,12)；相

同的一种动物为3号时，最多有2种，如(3,5,10,12),(3,7,9,11)；相同的一种动物为4号时，最多有2

种，如(4,6,10,11),(4,7,8,12)，所以最多能制作的卡片数量为9.

2、已知点(1,3),(5,4),(3,7),(7,1),(10,2),(8,6)，若直线与内（包括边界）点的最短距

离等于直线与内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为．

解：内（包括边界）的点与内（包括边界）点的最短距离为到的中点(,)

的距离，故直线即为线段的中垂线，所以直线的方程为：−=−(−),

即−5−25=0,也即=−5.

3、函数()=(+1)(+1)的单调递增区间是．

解：′()=1+(+1)0,−1，所以函数()=(+1)(+1)的单调递增区间是

(−1,+∞).

4、已知关于的方程|(−1)(−3)|=有四个不同的实根，则的取值范围是．

解：由=与=−(−1)(−3)在区间(1,3)内相切，可得=4±2√3，再由切点横坐标必

须在区间(1,3)内，所以=4+2√3不合条件，故的取值范围是04−2√3

5、边长为1正六面体被一个平面所截的最大截面面积为．

√

解：由边长为1正六面体被一个平面所截的面积最大的平面是边长为的正六边形，故最大面积为

√√√

6⋅⋅⋅=.

6、若锐角,,满足++=2，则++的最小值

是．

1/5

解：由

111

++