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1第一类曲线积分
第一类曲线积分的概念与性质
第一类曲线积分的计算法
例题
第一类曲线积分的概念与性质
引例——曲线形物体的质量
设某曲线形物体所占位置是xOy面内曲线C,其线密度
为连续函数(x,y),(x,y)C,求该曲线形物体的质量M.
思想:分割,近似,求和,取极限.
n
Mlim(,)s.
iii
→0
i1
定义设C为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)
在C上有界.在C上任意点列M1,M2,,Mn−1把C分
成n个小段,第i个小段的长度记为s,(,)为其上任取
iii
的一点(i1,2,,n).如果当各弧段的长度的最大值→0
n
时,和式f(,)s极限总存在,则称此极限为f(x,y)在
iii
i1
曲线C上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作
f(x,y)ds,
Cn
f(x,y)dslimf(,)s,
即→0iii
Ci1
其中f(x,y)叫做被积函数,C叫做积分弧段.
如果f(x,y)在积分弧段上连续,则第一类曲线积分存在.
类似可以定义空间曲线弧上的第一类曲线积分
n
)dslimf(,,)s
→0iiii
i1
规定分段光滑曲线弧上的曲线积分等于各段光滑曲线弧
上的曲线积分之和.
闭曲线C上的曲线积分记为f(x,y)ds.
C
性质:线性性,可加性等.
第一类曲线积分的计算法
定理设f(x,y)在曲线弧C上连续,C的参数方程为
x(t),
(t)
y(t),
其中(t),(t)在[,]上连续可微,且
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(t)+(t)0,
则曲线积分f(x,y)ds存在,且
C
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