“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系 (学生版）.pdf

目录“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系

一、重难点题型方法

妙法一：奔驰定理与四心问题

题型一：奔驰定理

题型二：重心问题

题型三：内心问题

题型四：外心问题

题型五：垂心问题

妙法二：极化恒等式

题型六：极化恒等式的应用

妙法三：隐圆

题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值

题型八：阿波罗尼斯圆

妙法四：等和线

题型九：等和线的应用

二针对性巩固练习

重难点题型方法

妙法一：奔驰定理与四心问题

题型一：奔驰定理

【典例分析】

例1.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图

形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O



是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为S,S,S，则有S⋅OA+S⋅OB+S⋅

ABCABC



OC=0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命

题不正确的有(

)



A.若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心



B.若OA+2OB+3OC=0，则S:S:S=1:2:3

ABC

5π9

C.若OA=OB=2,∠AOB=，2OA+3OB+4OC=0，则S=

6△ABC2



D.若O为△ABC的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0

例2.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积



分别为S，S，S，则S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

ABCABC

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三

S△AOB

角形ABC内一点，且满足：OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA，则=(

)

S△ABC

2111

A.B.C.D.

5263

【方法技巧总结】