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PAGE2/自招A7年级教师版

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三角形的边第三讲

三角形的边

第三讲

【重点】：①熟练掌握三角形三边的关系式，且能利用该不等式求另一边的范围；

②已知周长、另一边取值范围情况下利用三边关系求三角形存在性问题；

③利用三边关系证明线段之间的不等关系；

④能够运用凸多边形的内角和、外角和计算．

【难点】：①已知周长、另一边取值范围下利用三边关系求三角形存在性问题；

②利用三边关系证明线段之间的不等关系．

★★

图中每个三角形都是等边三角形，中间的小等边三角形边长为，则六边形的周长为________．

三角形的三边关系

定义

示例剖析

三角形中三条重要的线段：

⑴高（altitude）：（所以全等判定法则中的H并不是high的缩写）

在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．

⑵中线（median）：

在三角形中，联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线．

⑶角平分线（bisectorofangle）：

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

三角形的分类：

按边分类

按边分类

不等边三角形：三条边都不相等的三角形

等腰三角形

底边和腰不相等的等腰三角形：有两边相等的三角形

等边三角形（正三角形）：

三边都相等的三角形

三角形三条边的关系

三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．

三角形三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边．

即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．

三角形具有稳定性．

，,

，，

，

【注】根据三角形三边关系的相关考点

考点一、已知两边求第三边的取值范围或边长

考点二、判断三条线段能否构成三角形

考点三、确定三角形的个数问题

考点四、化简代数式问题

考点五、三角形边的不等关系

★★

⑴一个三角形三边长分别为，，，则的取值范围是________．周长的范围是________．

⑵一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________．

⑶已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为，若此三角形周长为偶数，则第三边的最小值为________．

⑴，；⑵或，注意分类讨论．．

⑶设，由已知可得为偶数，所以为奇数，且，所以的最小值为．

★★★

已知三角形周长为，则最长边的取值范围________．并利用结论解答：

⑴已知三角形的周长为，则最长边的取值范围是________．

⑵已知三角形中，最长边为，则三角形周长的取值范围是________．

⑶已知凸六边形的周长为，则最长边的取值范围是________．

设三边长，∴∴，∴

又∵，，∴

∴，∴，∴

⑴

⑵；（已知三角形最长边为，则周长的取值范围是）．

⑶（已知凸边形周长为，易证得最长边取值范围为）．

★★★

⑴、、为三角形的三边长，化简，

若此三角形周长为，求上面式子的值．

⑵判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例．已知的三边分别为，，．

①以、、为三边的三角形一定存在．

②以，，为三边的三角形一定存在．

③以，，为三边的三角形一定存在．

⑴∵三角形任意两边之和大于第三边∴，，

原式

⑵①不一定．比如，，，满足

，而．

②不一定．比如、、，满足

，而．

③一定．由对称性，不妨设，

故，．

★★

一个三角形的三边长分别是，，(，，都是质数)，且，则这个三角形是（）

．直角三角形．等腰三角形

．等边三角形．直角三角形或等腰三角形

因为，，均为质数且，所以，，中有一数为2，设，则，所以．从而有或．当时，，均不是整数，不合题意．因此，只有即，，所以三角形是等腰三角形．

★★★

⑴三角形边长都是正整数，其中最长边为，则这样的三角形共有________个．

⑵现有长的铁丝，要截成小段（），每段的长度为不小于的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为________．

⑴不妨设三角形三边，，则次长边；

当时，，共个；当时，，共个；

当时，，共个；当时，，共个；

当时，，共个；

因此，共有个满足条件的三角形．

⑵最小边为，因为任意三边不能构成三角形，依次为1,2,3,5,8,13,21,34,55，和为143，和144相差1，故可取1，1,2,3,5,8,13,21,34,55，此时

★★★

已知三角形的边长互不相等且都是质数，周长是不大于的合数，则这个三角形的三边长分别是________．

因为最小的一组质数为，不能构成三角形．所以不能出现，

枚举，满足条件的三角形有．

★★★

如图，四边形中，，，，，则的取值范围_