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PAGE2/自招A7年级
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全等三角形的性质与判定(二)第五讲
全等三角形
的性质与判定(二)
第五讲
【重点】:①熟练掌握三角形全等的四种判定公理(或定理)
【难点】:①三角形全等的四种判定公理(或定理)
②熟练、准确、规范、耐心的书写各步证明过程!!极其重要!
【南宁中考题】★★
如图,已知,,与相交于点,联结、.
⑴图中还有几对全等三角形,请你一一列举.
⑵求证:.
⑴,
⑵联结,由,
得,,故可证得,
所以有,,即.
多次全等的证明
全等三角形的判定法则:
两个三角形中对应相等
的边或角
是否全等
全等:√;不全等×
公理或推论
(简写)
三条边
√
SSS
两边一角
两边夹角
√
SAS
两边与其中一边对角
×
存在特殊情况
两角一边
两角和夹边
√
ASA
两角与其中一角对边
√
AAS
三角
×
在全等三角形的学习中,经常需要进行多次全等证明.当我们要判定的一组三角形,它的全等条件不足时,通常可以先证明图中另外一组三角形全等,借此得到一些边与角的等量关系.
★★
如图,,,图中有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?
★★★
已知:如图,、、交于点,且,,,求证:.
★★★★
已知:如图,,点、分别在、上,且,、交于.
求证:平分.
基本角度模型
在全等证明中,我们经常需要寻找两个三角形之间的角度关系.此时,往往需要结合题目中的垂直等条件,进行角度的一系列推导.应用“同角(等角)的余角相等”,我们可以得到一些有用的角度结论.
以下,我们总结几个基本角度结论:
垂直模型
图形
理由
基本结论
一点双垂直
所以
一点双垂直
沙漏模型
而
所以
双高模型
所以
射影模型
所以
【编者注】:学生版此处“理由”与“结论”栏均为空白,需各位老师带领学生进行总结.
★
已知:如图,点是正方形的边上任意一点,过点作,交的延长线于点.
求证:.
★★
已知:如图,,,,,,.求证:.
★★★
如图,中,,,是中点,,与交于,与交于.求证:,.
★★★
⑴如图,、分别是的边和上的高,点在的延长线上,,点在上,.求证:且.
⑵如图,、分别是的边和上的高,点在的延长线上,;点在的延长线上,且.求证:且.
图图
【编者注】:细心的学生会发现,这两题实质上是一样的,区别是一个是点在高上,一个是在高的延长线上.试学生的做题情况,老师可自己分析一题,让学生来证明另一问.
★★★★
已知:如图,在中,,平分交于,于交于,交于点,联结.求证:.
★★★★★
已知:如图,中,,于,平分,且于,与相交于点.是边的中点,联结与相交于点.
⑴求证:;⑵求证:;⑶与大小关系如何?试证明你的结论.
如图,,,写出图形中所有的全等三角形并加以证明.
⑴如图,已知、、、四点在一条直线上,,,,.
求证:
⑵如图,,,,求证:.
图图
如图,已知中,,,是高和的交点,求线段的长度.
已知:如图所示,,,
⑴若、、、分别是各边的中点,求证:.
⑵若联结、交于点,问、有何位置关系?证明你的结论.
⑴如图,,,.求证:.
⑵如图,中,,、分别为两底角的外角平分线,于,于.求证:.
⑶如图,中,,、分别是、的中点,于,于.求证:.
图图图
如图,,、分别是、的中点,于,于.
求证:.
如图所示,已知在等腰直角三角形中,,是斜边上任意一点,于点,交的延长线于点,于,交于.求证:.
如图,以的边、为边分别向外作正方形和正方形,联结,试判断与面积之间的关系,并说明理由.
已知:如图,中,,为上任一点,,,.
求证:.
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