第9讲 二次根式的化简（学生版）.docxVIP

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PAGE2/自招A7年级

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第九讲

第九讲

二次根式的化简

二次根式的化简

【重点】：①熟练利用二次根式的双重非负性、分母有理化化简二次根式；

②善于比较根式大小，借助移动因式法、平方法、分母（分子）有理化等；

③理解并掌握小数部分和整数部分的意义及基本计算．

【难点】：①快速、准确的化简二次根式（特别是根号内含有复杂字母的二次根式）；

②能够针对不同的二次根式，运用适合的方法比较大小．

★

化简：

原式

当时，原式；

当时，原式；

当时，原式．

二次根式的化简求值

分母有理化及其初步应用

⑴互为有理化因式：两个含有二次根式的非代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．

①如果是单项式，则同时乘以；

②如果是多项式，则采用平方差公式，如与互为有理化因式．

⑵分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．

分母有理化时，一定要保证有理化因式不为．

⑶（拓展）共轭根式：两个根式的积与和都为有理式，这两个根式就互为共轭因式

共轭根式，是指两个形如与的式子（其中，都是有理数）

【注意】有理化因式与共轭根式的区别：共轭因式必定是有理化因式，但有理化因式就不一定是共轭因式，共轭因式是有理化因式的特例，有理化因式则是共轭因式的一般形式．

★★

⑴当时，化简并求值：；

⑵已知，化简：；

⑶当时，化简并求值：．

★★

⑴如果式子化简结果为，则的取值范围是________．

⑵设，试求使的值恒为常数的的取值范围．

★★★

计算：

⑴⑵

⑶⑷

★★★

化简：①；②；

③【自招A】

★★★★

已知，求的值．

二次根式比大小

比较根式大小的主要方法：

⑴移动因式法：将根号外的正因式移入根号内，转化为比较被开方数的大小．如比较与．

⑵运用平方法：两边同时平方，转化为比较幂的大小．此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小．如比较与．

⑶分母有理化法：先将各自的分母有理化，再进行比较．如比较与．

⑷分子有理化法：先将各自的分子有理化，再比较大小．如比较与．

总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上的方法，除此之外诸如局部放缩法、移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度．

★

比较下列式子的大小：

⑴和；⑵和；

⑶和；⑷和．

★★★

⑴已知，将、、从小到大排列．

⑵比较和大小．

整数部分和小数部分

一．整数部分

表示不超过的最大整数（即）．对于一形式较复杂的数，要求其整数部分与小数部分，则必须先化简，然后观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间．同时再取其整数部分时应是两相邻整数中较小的整数值．

二．小数部分

一个数的小数部分一般表达式是：若是一个数的整数部分，则的小数部分的一般表达式为．如的小数部分为，的小数部分为．因此求小数部分的关键在于求整数部分．

★★

⑴与的小数部分分别是和，求的值．

⑵设的整数部分为，小数部分为，求的值．

★★★★★

设，它的小数部分是，则________．

⑴化简：________．

⑵已知：，化简：．

化简：⑴； ⑵（，）

⑶已知，，求：①；②．

化简，求当，时的值．

⑴化简，求当的值．

⑵化简，求当的值．

⑴设，，比较，的大小关系．

⑵已知,，比较，的大小关系．

⑴已知为的整数部分,是的算术平方根,求．

⑵将不超过的最大整数称作的整数部分，将称作的小数部分，求的整数部分和小数部分．

⑶设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．

已知，求的值．

先化简再求值：当时，求的值．