第6讲 利用解析法解几何题（教师版）.docxVIP

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PAGE7/9年级第6讲

利用解析法解几何题第六讲

利用解析法解几何题

第六讲

和距离相关的证明题

★★☆☆☆

在中，，是中线，为的中点，连接并延长交于，过作交于，求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，点坐标为，则点坐标为，点坐标为，

直线的方程为，直线的方程为，

直线的方程为，则点坐标为，

∵，∴点的坐标为，

显然．

★★★☆☆

四边形内接于，对角线，于，求证：．

以、的交点为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，

则圆心的坐标为，点坐标为，

，，

∴．

和垂直相关的证明题

★★★☆☆

已知中，为垂心，为外心，，求证：．

延长交于，以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点坐标为，点坐标为，点坐标为，

则点的坐标为，直线的方程为，

直线的方程为，直线的方程为，

∴点坐标为，，

又中点坐标为，则中垂线的方程为，

则点坐标为，，

∴．

★★★☆☆

已知是等边三角形，分别是上的点，且满足，，连接相交于点，求证：．

以中点为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，

点坐标为，

∴直线的方程为，直线的方程为，

则的交点的坐标为，

∴直线的斜率为，

∵，∴．

★★★☆☆

矩形中，分为三等份，且，交于．求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，

直线的方程为，直线的方程为，

∴的交点的坐标为，

∴直线的斜率为，

∵，∴．

★★★★★

【自招】

在内任取一点，过作于，于，过作于，过作于，求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，点坐标为，点坐标为，

则直线的方程为，直线的方程为，

直线的方程为，

由此可得点的坐标分别为，，

∴直线的斜率，直线的斜率，

∴，即．

和角度相关的证明题

★★☆☆☆

在等腰中，在直角边上取一点，使，在另一直角边上取一点，使，求证：．

以为原点，分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，

直线的斜率为，直线的斜率为，

直线的斜率为，

∴、夹角的正切值为，

又，且都是锐角，

∴．

和圆相关的证明题

★★☆☆☆

的直径互相垂直，为的中点，连接并延长交于，连接交于，求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设的方程为，则点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则点坐标为，

∴直线的方程为，与的交点的坐标为，

∴直线的方程为，与轴的交点的坐标为，

∴．

★★★☆☆

如图，是的直径，分别过作的切线，是圆周上不同于的点，过的切线与过的切线分别交于两点，求证：为定值．

过点作的垂线，并以为原点，该垂线为轴、为轴建立平面直角坐标系，设的方程为，则点坐标为，点坐标为，

设点坐标为，则，且过点的的切线方程为，

∴点的横坐标为，点的横坐标为，

∴．

★★☆☆☆

【自招】

已知切于，交于两点，于，求证：．

以为原点，分别以、过点的的垂线为轴、轴建立平面直角坐标系，

设的方程为，则点坐标为，点坐标为，

设点坐标为，则，点坐标为，

过点的的切线方程为，则点坐标为，

∴，，

∴．

已知，，分别是边上的高，求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，点坐标为，

由，则点坐标为，直线的方程为，

∴直线的方程为，

联立两直线方程得点坐标为，

∴，

∵，∴，∴．

已知正方形，为对角线上任意一点，，，为垂足．求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，

直线的方程为，则设点坐标为，

则点坐标为，点坐标为，

∴直线的斜率为，直线的斜率为，

∵，∴．

正方形中边的中点为，的垂直平分线交的延长线于，交于，求证：．

以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，点坐标为，则点坐标为，点坐标为，

点坐标为，

直线的斜率为，∴直线的方程为，

∴点坐标为，∴直线的方程为，

则其与轴的交点的坐标为，

∴，，∴．

在的边向形外作正方形、，相交于．求证：．

过点作于，以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，

设点坐标为，点坐标为，点坐标为，

由弦图可知，点坐标为，点坐标为，

则直线的方程为，

直线的方程为，

两直线