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PAGE5/9年级第9讲
第九
第九讲
自招专题之四边形
自招专题之四边形
线段问题
★★☆☆☆
已知矩形，，，若在边上存在点，满足，则的取值范围是______．
.以中点为圆心为半径作圆应与有交点
★★☆☆☆
如图，在平行四边形中，于，于．，且，则平行四边形的周长为__________．
★★☆☆☆
正方形的边长为，为线段上一点，为线段上一点，，于，于，求的值．
★★★☆☆
如图，矩形中，，将矩形折叠，点落在边上的点处，落在处，求
∵，
∴
★★★☆☆
如图，正方形中，为对角线交点，是边延长线上一点，联结交于，联结并延长，交于．求证：．
易证，又，故，
因此，得证．
★★★★☆
【自招】
有一个正方形，边长为，其中有两个全等的矩形、，则________．
设，，，
因为，，
则，
根据题意：，
联立方程①②：，
即，所以，代入③式可得：，则，
法二：过点作，联结、，则，，
所以，所以，，
则，
★★★☆☆
【自招】
在直角梯形中，，，对角线与交于点，过点作于点，为边的中点，且，则的值为________．
法一：因为，所以，，
则
所以
法二：设，，则根据塞瓦定理可得：，，
又因为，则，
根据勾股定理：，可得：
★★★☆☆
正方形中有一点，使到、、的距离之和最小为，求此正方形的边长
边长为
绕点逆时针旋转得到，联结，作与点
因为，
所以当、、三点共线时，距离之和最小．
即
又因为，所以
在中，令，则，
在中，因为，，
所以
解得：
面积问题
★★☆☆☆
【自招】
有一个矩形，，、为边上，、将三等分，________
设，则，
∴，∴
★★★☆☆
如图，已知四边形是以直线为对称轴的轴对称图形，，，将该四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，边与交于点．
⑴除原图中已有的线段和四边形与的对角线外，以图中标有字母的点为端点的新的线段中，找出一组相交且相互垂直的线段，写出它们并说明它们垂直的理由；
⑵若，四边形的面积为，求旋转角的度数．
⑴由得
⑵∵，∴,
∵，∴
∴∴
旋转角．
★★★★★
【自招】
如图，梯形中，，，不平行于．
⑴求证：；⑵求的值．
设，联结、，设、到的距离分别为、
令、，则，
由可得，，即
∴，同理，
∴，
又
∴，即
当时，，舍
∴，∴
同理，∴
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