7自招A 第6讲 全等三角形的判定（垂直平分线与倍长中线）（教师版）.docxVIP

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PAGE5/自招A7年级教师版第6讲

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第

第六讲

全等三角形的判定

全等三角形的判定

（垂直平分线与倍长中线）

线段的垂直平分线

中点：

线段的垂直平分线（中垂线）——等腰三角形的三线合一：

【定义】：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）．

【性质】：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．

【判定】：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

常见辅助线：联结线段中垂线上的点与线段两端点，则会出现等腰三角形

三角形的五心——外心、重心、垂心

⑴外心：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心．

外心是三角形外接圆的圆心．外心到三角形的三个顶点距离相等．

⑵重心：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心．

⑶垂心：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心．

【注】等边三角形的内心、外心、垂心、重心重合，也称为等边三角形的中心．

求证：中，三条边的垂直平分线必交于一点．

如图所示，作线段和的垂直平分线交于，联结，，．

在线段的垂直平分线上，

在线段的垂直平分线上，

，在线段的垂直平分线上，

即的三条垂直平分线相交于一点，得证．

★

⑴如图所示，、、三点代表三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等．试确定供水站的位置．

⑵如图所示，及两点、．求作一点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．

⑴联结，，分别作线段、的垂直平分线交于点，则点即为所求．

⑵注意本题有两个答案：

①内角平分线与线段的垂直平分线的交点；

②外角平分线与线段的垂直平分线的交点；

★

如图所示，两边和的垂直平分线分别交于、，若，，则，的周长为．

根据题意可得：，

易得由，，

故

★★★

⑴已知：如图，中，为中点，交的角平分线于点，于，于．求证：．

⑵已知：如图，中，，边上的垂直平分线交于，于，交边上的高于．求证：．

⑴联结，．根据角平分线性质，知，根据中垂线性质，知．

故，故，得证．

⑵联结，则，故，为等腰直角三角形，．

易证得，故，得证．

中点全等模型

倍长过中点的线段，构造全等三角形：（图形的运动——旋转，中心对称）

如图，已知为线段中点．

【常见辅助线】：延长至，使得，联结．

在和中

（）

（）

★★

已知：中，，，求边上的中线的取值范围．

如图，延长至，使，联结

在和中

（全等三角形的对应边相等）

在中，即

★★★

⑴如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，，延长交于．求证：．

法一：

延长到，使，联结易证得

∴．又∵，∴

∴，而

∴，故．

法二：倍长至，联结

⑵如图，，，且，求证：．

在上截取，联结

则，

又

★★★

如图所示，在等腰直角三角形中，，为边上的中点，过点作，交于点，交于点．若，，求长．

倍长至，联结、、．

显然．，所以

又，（三线合一）．

所以．

★★★

已知：如图，中，，是中点，、分别在边、上，且，以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？

延长至，使得，联结，，．

易证，故，，

???又

在中，

以线段、、为边能构成一个直角三角形（）

★★★

⑴已知：如图，梯形中，，为中点，．

求证：平分．

⑵已知：如图，梯形中，，平分，．

求证：平分．

⑴倍长中线：延长至，使得，联结．

易证，故，

又，故，故，

即，因此，，三点共线．

又，故可证，又，即为中点．

故在等腰中，由等腰三角形的三线合一，有平分，得证．

（也可延长、交于，避免三点共线的证明）

⑵法一“倍长中线”：延长、交于．由，得，

又平分，故，

因此，故（等角对等边），

又，，故．

易证，故，即为中点．

故在等腰中，由等腰三角形的三线合一，有平分，得证．

法二：截长补短：在上截取，联结．

易证，则，；

又，得；

，又，

联结，，，，

故证得，因此，即平分．

★★★★

已知：如图，在外作正方形和正方形，是的中点．

求证：且．

延长到，使，联结，

易证，则．故

由，，得．

因此，故，所以．

延长交于，由，故；

又，故，因此，

因此中，，故，得证．

⑴如图，中，，是、的垂直平分线的交点，则